Mackey Functor

Mackey functor は, トポロジーでは, 群の作用を持つ空間を調べる場合によく使われる。 Mackey functor の圏が equivariant homology と cohomology の値域となるからである。

解説としては, Webb による survey [Web00] がある。 Ganter [Gan] は Panchadcharam の thesis も勧めている。 Mackey functor や類似の概念を比較したものとして, Dell’Ambrogio の [Del22] がある。

Kaledin の [Kal22] では, topological context では May らの [Lew+86; May96] や tom Dieck の [Die87] が, より代数的なものとしては Thévenaz と Webb の [TW95] が参照されている。

Ganter [Gan] によると, Mackey functor は Dress [Dre71; Dre73] や Green [Gre71] により導入されたものであるが, その元になったのは, Bredon [Bre67] や Lam [Lam68] の仕事である。

古典的には, 有限群 \(G\) に対し, finite left \(G\)-set と \(G\)-equivariant map の成す category \(D(G)\) から, ある可換環 \(k\) 上の module の category への covariant functor と contravariant functor の組で, ある条件をみたすものとして定義される。

このように, 2つの functor の組と考えると, 扱うのが面倒なように思えるが, Lindner [Lin76] により, \(D(G)\) の span の上の一つの functor とみなすことができることが示されている。 Street らの [PS07] は, それに基づき categorical な視点から Mackey functor の理論の拡張を行なっている。このように考える方が, すっきりしていて, 本質的なところがよく見える, と思う。

例としては, コホモロジーや representation ring のように transfer を持つものが基本である。 数論で現れる例としては, [Kat79; RS82; Bol97] などがある。 Abelian category に有限群が 作用している とき, Burciu [Bura] が equivariantization を取ったものの algebraic \(K\)-theory を取ると Mackey functor ができることを示している。 Equivariantization とは Drinfel\('\)d, Gelaki, Nikshych, Ostrik [Dri+10] により, fusion category を調べるために導入された操作である。

• equivariantization

ある群 \(G\) に対し \(G\)-Mackey functor 全体は monoidal Abelian category (tensor category) になるので, その derived category を考えるのは自然に思えるが, Kaledin [Kal11] によるとそうではないらしい。Kaledin は, その代わりに “derived Mackey functor の成す圏”となるべき tensor triangulated category を構成している。

• derived Mackey functor

別の面からの triangulated category との関係としては, Dell’Ambrogio の[Del14] がある。\(G\)-equivariant Kaparov \(KK\)-theory を morphism の集合とする triangulated category を調べるために, Mackey functor を用いている。

Mawei Wu [Wu] は, \(G\) の Mackey double category を定義し, Mackey double category の category と \(G\) の Mackey functor の category が同値であることを示している。

• Mackey double category

特定の有限群だけでなく, 様々な群の関係を見るものとして, global Mackey functor とか biset functor と呼ばれるものがある。Bouc [Bou10] の本が Springer Lecture Notes から出ている。その §1.4 に簡単な歴史がまとめられている。

• biset functor

それが, ある 2-category の上の “Mackey functor” として解釈できることを Nakaoka [Nak16] が示している。

別の方向では, 群を有限群より一般のものに拡張するということも考えられている。まず compact Lie群への拡張については, equivariant stable homotopy theory の研究 [Lew+86; May96] の中で古くから考えられている。有限生成な群への拡張については Kaledin [Kal22] が classical Mackey functor の “profinite completion” と呼ぶべきものを Mackey profunctor として定義している。更にその derived version も考えられ ている。これらの内容の overview として [Kal] がある。

• (derived) Mackey profunctor

Mackey \(2\)-functor という高次版を Balmer と Dell’Ambrogio [BD20] が導入している。

• Mackey \(2\)-functor

Closed multicategory で enrich された Mackey functor については, Johnson と Yau が [JY] で考えている。

• enriched Mackey functor

積構造を持った変種として, Green ring や Green functor と呼ばれるものがある。代数的トポロジーでは, Baker の [Bak] などに現れる。 他にも, Tambara [Tam93] により TNR-functor の名前で導入されたものもある。今では, Tambara functor と呼ばれているが。

• Green functor
• Tambara functor

また Barwick [Bar17] は spectralMackey functor を定義して調べている。 その元になっているのは Kaledin の derived Mackey functor のようであるが。Barwickは [BGS20] で spectral Green functor も定義している。

Burciu の[Burb] では, 群の category への作用に対して Mackey functor の類似が定義されている。

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