Mackey Functor

Mackey functor は, トポロジーでは, 群の作用を持つ空間を調べる場合によく使われる。 Mackey functor の圏が equivariant homology と cohomology の値域となるからである。

解説としては, Webb による survey [Web00] がある。 Ganter [Gan] は Panchadcharam の thesis も勧めている。 Mackey functor や類似の概念を比較したものとして, Dell’Ambrogio の [Del22] がある。

Kaledin の [Kal22] では, topological context では May らの [Lew+86; May96] や tom Dieck の [Die87] が, より代数的なものとしては Thévenaz と Webb の [TW95] が参照されている。

Ganter [Gan] によると, Mackey functor は Dress [Dre71; Dre73] や Green [Gre71] により導入されたものであるが, その元になったのは, Bredon [Bre67] や Lam [Lam68] の仕事である。

古典的には, 有限群 \(G\) に対し, finite left \(G\)-set と \(G\)-equivariant map の成す category \(D(G)\) から, ある可換環 \(k\) 上の module の category への covariant functor と contravariant functor の組で, ある条件をみたすものとして定義される。

このように, 2つの functor の組と考えると, 扱うのが面倒なように思えるが, Lindner [Lin76] により, \(D(G)\) の span の上の一つの functor とみなすことができることが示されている。 Street らの [PS07] は, それに基づき categorical な視点から Mackey functor の理論の拡張を行なっている。このように考える方が, すっきりしていて, 本質的なところがよく見える, と思う。

例としては, コホモロジーや representation ring のように transfer を持つものが基本である。 数論で現れる例としては, [Kat79; RS82; Bol97] などがある。 Abelian category に有限群が作用している とき, Burciu [Bura] が equivariantization を取ったものの algebraic \(K\)-theory を取ると Mackey functor ができることを示している。 Equivariantization とは Drinfel\('\)d, Gelaki, Nikshych, Ostrik [Dri+10] により, fusion category を調べるために導入された操作である。

• equivariantization

ある群 \(G\) に対し \(G\)-Mackey functor 全体は monoidal Abelian category (tensor category) になるので, その derived category を考えるのは自然に思えるが, Kaledin [Kal11] によるとそうではないらしい。Kaledin は, その代わりに “derived Mackey functor の成す圏”となるべき tensor triangulated category を構成している。

• derived Mackey functor

別の面からの triangulated category との関係としては, Dell’Ambrogio の[Del14] がある。\(G\)-equivariant Kaparov \(KK\)-theory を morphism の集合とする triangulated category を調べるために, Mackey functor を用いている。

特定の有限群だけでなく, 様々な群の関係を見るものとして, global Mackey functor とか biset functor と呼ばれるものがある。Bouc [Bou10] の本が Springer Lecture Notes から出ている。その §1.4 に簡単な歴史がまとめられている。

• biset functor

それが, ある 2-category の上の “Mackey functor” として解釈できることを Nakaoka [Nak16] が示している。

別の方向では, 群を有限群より一般のものに拡張するということも考えられている。まず compact Lie群への拡張については, equivariant stable homotopy theory の研究 [Lew+86; May96] の中で古くから考えられている。有限生成な群への拡張については Kaledin [Kal22] が classical Mackey functor の “profinite completion” と呼ぶべきものを Mackey profunctor として定義している。更にその derived version も考えられ ている。これらの内容の overview として [Kal] がある。

• (derived) Mackey profunctor

Mackey \(2\)-functor という高次版を Balmer と Dell’Ambrogio [BD20] が導入している。

• Mackey \(2\)-functor

Closed multicategory で enrich された Mackey functor については, Johnson と Yau が [JY] で考えている。

• enriched Mackey functor

積構造を持った変種として, Green ring や Green functor と呼ばれるものがある。代数的トポロジーでは, Baker の [Bak] などに現れる。 他にも, Tambara [Tam93] により TNR-functor の名前で導入されたものもある。今では, Tambara functor と呼ばれているが。

• Green functor
• Tambara functor

また Barwick [Bar17] は spectral Mackey functor を定義して調べている。 その元になっているのは Kaledin の derived Mackey functor のようであるが。Barwickは [BGS20] で spectral Green functor も定義している。

Burciu の[Burb] では, 群の category への作用に対して Mackey functor の類似が定義されている。

References

[Bak]

Andrew Baker. Frobenius Green functors. arXiv: 1208.1746.

[Bar17]

Clark Barwick. “Spectral Mackey functors and equivariant algebraic \(K\)-theory (I)”. In: Adv. Math. 304 (2017), pp. 646–727. arXiv: 1404. 0108. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.08.043.

[BD20]

Paul Balmer and Ivo Dell’Ambrogio. Mackey 2-functors and Mackey 2-motives. EMS Monographs in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, [2020] ©2020, pp. viii+227. isbn: 978-3-03719-209-2. arXiv: 1808.04902. url: https://doi.org/10.4171/209.

[BGS20]

Clark Barwick, Saul Glasman, and Jay Shah. “Spectral Mackey functors and equivariant algebraic \(K\)-theory, II”. In: Tunis. J. Math. 2.1 (2020), pp. 97–146. arXiv: 1505 . 03098. url: https://doi.org/10.2140/tunis.2020.2.97.

[Bol97]

Robert Boltje. “Class group relations from Burnside ring idempotents”. In: J. Number Theory 66.2 (1997), pp. 291–305. url: http://dx.doi.org/10.1006/jnth.1997.2165.

[Bou10]

Serge Bouc. Biset functors for finite groups. Vol. 1990. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2010, pp. x+299. isbn: 978-3-642-11296-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-11297-3.

[Bre67]

Glen E. Bredon. Equivariant cohomology theories. Lecture Notes in Mathematics, No. 34. Berlin: Springer-Verlag, 1967, vi+64 pp. (not consecutively paged).

[Bura]

S. Burciu. \(G\)-functors arising from categorical group actions on abelian categories. arXiv: 1305.3432.

[Burb]

Sebastian Burciu. Categorical Green functors arising from group actions on categories. arXiv: 1407.3994.

[Del14]

Ivo Dell’Ambrogio. “Equivariant Kasparov theory of finite groups via Mackey functors”. In: J. Noncommut. Geom. 8.3 (2014), pp. 837–871. arXiv: 1105.3028. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/172.

[Del22]

Ivo Dell’Ambrogio. “Axiomatic representation theory of finite groups by way of groupoids”. In: Equivariant topology and derived algebra. Vol. 474. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2022, pp. 39–99. arXiv: 1910.03369.

[Die87]

Tammo tom Dieck. Transformation groups. Vol. 8. de Gruyter Studies in Mathematics. Berlin: Walter de Gruyter & Co., 1987, pp. x+312. isbn: 3-11-009745-1. url: http://dx.doi.org/10.1515/9783110858372.312.

[Dre71]

Andreas W. M. Dress. Notes on the theory of representations of finite groups. Part I: The Burnside ring of a finite group and some AGN-applications. With the aid of lecture notes, taken by Manfred Küchler. Universität Bielefeld, Fakultät für Mathematik, Bielefeld, 1971, iv+158+A28+B31 pp. (loose errata).

[Dre73]

Andreas W. M. Dress. “Contributions to the theory of induced representations”. In: Algebraic \(K\)-theory, II: “Classical” algebraic \(K\)-theory and connections with arithmetic (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Berlin: Springer, 1973, 183–240. Lecture Notes in Math., Vol. 342.

[Dri+10]

Vladimir Drinfeld, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “On braided fusion categories. I”. In: Selecta Math. (N.S.) 16.1 (2010), pp. 1–119. arXiv: 0906 . 0620. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-010-0017-z.

[Gan]

Nora Ganter. Global Mackey functors with operations and \(n\)-special lambda rings. arXiv: 1301.4616.

[Gre71]

J. A. Green. “Axiomatic representation theory for finite groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 1.1 (1971), pp. 41–77. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(71)90011-9.

[JY]

Niles Johnson and Donald Yau. Homotopy Theory of Enriched Mackey Functors. arXiv: 2212.04276.

[Kal]

D. Kaledin. Derived Mackey functors and profunctors: an overview of results. arXiv: 1412.3584.

[Kal11]

D. Kaledin. “Derived Mackey functors”. In: Mosc. Math. J. 11.4 (2011), pp. 723–803, 822. arXiv: 0812.2519.

[Kal22]

D. Kaledin. “Mackey profunctors”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 280.1385 (2022), pp. vii+90. arXiv: 1412 . 3248. url: https://doi.org/10.1090/memo/1385.

[Kat79]

Kazuya Kato. “A generalization of local class field theory by using \(K\)-groups. I”. In: J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 26.2 (1979), pp. 303–376.

[Lam68]

Tsit-yuen Lam. “Induction theorems for Grothendieck groups and Whitehead groups of finite groups”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 1 (1968), pp. 91–148.

[Lew+86]

L. G. Lewis Jr., J. P. May, M. Steinberger, and J. E. McClure. Equivariant stable homotopy theory. Vol. 1213. Lecture Notes in Mathematics. With contributions by J. E. McClure. Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. x+538. isbn: 3-540-16820-6.

[Lin76]

Harald Lindner. “A remark on Mackey-functors”. In: Manuscripta Math. 18.3 (1976), pp. 273–278.

[May96]

J. P. May. Equivariant homotopy and cohomology theory. Vol. 91. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. With contributions by M. Cole, G. Comezaña, S. Costenoble, A. D. Elmendorf, J. P. C. Greenlees, L. G. Lewis, Jr., R. J. Piacenza, G. Triantafillou, and S. Waner. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, 1996, pp. xiv+366. isbn: 0-8218-0319-0.

[Nak16]

Hiroyuki Nakaoka. “A Mackey-functor theoretic interpretation of biset functors”. In: Adv. Math. 289 (2016), pp. 603–684. arXiv: 1311.4044. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.11.024.

[PS07]

Elango Panchadcharam and Ross Street. “Mackey functors on compact closed categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 261–293. arXiv: 0706.2922.

[RS82]

Klaus Roggenkamp and Leonard Scott. “Hecke actions on Picard groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 26.1 (1982), pp. 85–100. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(82)90031-7.

[Tam93]

D. Tambara. “On multiplicative transfer”. In: Comm. Algebra 21.4 (1993), pp. 1393–1420. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879308824627.

[TW95]

Jacques Thévenaz and Peter Webb. “The structure of Mackey functors”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 347.6 (1995), pp. 1865–1961. url: https://doi.org/10.2307/2154915.

[Web00]

Peter Webb. “A guide to Mackey functors”. In: Handbook of algebra, Vol. 2. Amsterdam: North-Holland, 2000, pp. 805–836. url: http://dx.doi.org/10.1016/S1570-7954(00)80044-3.