Fusion category

Fusion category とは, monoidal structure を持つ linear categoryで, 全ての object が dualizable であり, 更にある有限性の条件をみたすものである。Fusion category については Etingof らの [ENO05] や, Etingof らの本 [Eti+15] の Chapter 9 を見るとよい。

Barter, Jones, Tucker の [BJT] によると, \(3\)-dimensional fully extended topological field theory [DSS], conformal net 表現 [KLM01], vertex operator algebra の表現, quantum group の表現 [RT91] などで現れる。

もっと初等的な構造である有限群 \(G\) からできる fusion category もある。そのような例として次の二つがある。

• finite dimensional \(G\)-graded vector space の category
• \(G\) の表現の成す category

前者の一般化として, \(G\) の \(3\)-cocycle で associator を変形したものがある。 更に一般化したものを, group theoretical fusion category と呼ぶ。

• group theoretical fusion category

Group theoretical fusion category の exponent について, Natale が [Nat07] で調べている。

このように, fusion category は有限群と関係が深い。実際, かなり 群と似た振る舞いをするようである。 Drinfel\('\)d と Gelaki と Nikshych と Ostrik の [Dri+] など。その詳細を書いた [Dri+10] も出た。

• braided fusion category

Etingof ら [ENO10] は, fusion category の群による extension を分類するのに, 群やgroupoidの分類空間が使えることを発見した。 Fusion category 達を object とする \(3\)-groupoid を定義し, 群 \(G\) の分類空間から, その \(3\)-groupoid への連続写像の homotopy類で, \(G\) による extension が分類されることを証明している。

• fusion category の Brauer-Picard groupoid

群の表現の類似としては, fusion category 上の module category を考えるべきだろう。

• fusion category 上の module category

Etingof らの extesion の分類 [ENO10] に基づいて, module category の分類をしようというのが, Meir と Musikantov の [MM] である。

Monoidal category を扱っているのだから当然といえば当然であるが, このように高次の圏が, 主要な道具として使われるようになってきたことは興味深い。

一般化として, finite tensor category [EO04] がある。 Etingof らの本 [Eti+15] では, fusion category より前に Chapter 6 で扱われている。

• finite tensor category

似たようなものとして, group category という概念がある。Quinn の [Qui99] の他に, Fröhlich と Kerler の [FK93], Joyal と Street の [JS93] や Stirling の [Sti] など。

• group category

References

[BJT]

Daniel Barter, Corey Jones, and Henry Tucker. Eigenvalues of rotations and braids in spherical fusion categories. arXiv: 1611. 00071.

[Dri+]

Vladimir Drinfel\('\)d, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. Group-theoretical properties of nilpotent modular categories. arXiv: 0704.0195.

[Dri+10]

Vladimir Drinfeld, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “On braided fusion categories. I”. In: Selecta Math. (N.S.) 16.1 (2010), pp. 1–119. arXiv: 0906 . 0620. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-010-0017-z.

[DSS]

Christopher L. Douglas, Christopher Schommer-Pries, and Noah Snyder. Dualizable tensor categories. arXiv: 1312.7188.

[ENO05]

Pavel Etingof, Dmitri Nikshych, and Viktor Ostrik. “On fusion categories”. In: Ann. of Math. (2) 162.2 (2005), pp. 581–642. arXiv: math/0203060. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.162.581.

[ENO10]

Pavel Etingof, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “Fusion categories and homotopy theory”. In: Quantum Topol. 1.3 (2010). With an appendix by Ehud Meir, pp. 209–273. arXiv: 0909.3140. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/6.

[EO04]

Pavel Etingof and Viktor Ostrik. “Finite tensor categories”. In: Mosc. Math. J. 4.3 (2004), pp. 627–654, 782–783. arXiv: math/0301027.

[Eti+15]

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. Tensor categories. Vol. 205. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2015, pp. xvi+343. isbn: 978-1-4704-2024-6. url: https://doi.org/10.1090/surv/205.

[FK93]

Jürg Fröhlich and Thomas Kerler. Quantum groups, quantum categories and quantum field theory. Vol. 1542. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1993, pp. viii+431. isbn: 3-540-56623-6.

[JS93]

André Joyal and Ross Street. “Braided tensor categories”. In: Adv. Math. 102.1 (1993), pp. 20–78. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1993.1055.

[KLM01]

Yasuyuki Kawahigashi, Roberto Longo, and Michael Müger. “Multi-interval subfactors and modularity of representations in conformal field theory”. In: Comm. Math. Phys. 219.3 (2001), pp. 631–669. arXiv: math/9903104. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00005565.

[MM]

Ehud Meir and Evgeny Musicantov. Module categories over graded fusion categories. arXiv: 1010.4333.

[Nat07]

Sonia Natale. “On the exponent of tensor categories coming from finite groups”. In: Israel J. Math. 162 (2007), pp. 253–273. arXiv: math/0511123. url: https://doi.org/10.1007/s11856-007-0098-3.

[Qui99]

Frank Quinn. “Group categories and their field theories”. In: Proceedings of the Kirbyfest (Berkeley, CA, 1998). Vol. 2. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 1999, 407–453 (electronic). arXiv: math/9811047. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.1999.2.407.

[RT91]

N. Reshetikhin and V. G. Turaev. “Invariants of \(3\)-manifolds via link polynomials and quantum groups”. In: Invent. Math. 103.3 (1991), pp. 547–597. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01239527.

[Sti]

Spencer D. Stirling. Abelian Chern-Simons theory with toral gauge group, modular tensor categories, and group categories. arXiv: 0807. 2857.