Extended topological quantum field theory

Topological quantumf field theory (TQFT) に多くのトポロジストが注目したのは, 多様体の不変量と関係があるからである。Lurie と Hopkins は, より精密な情報を得るためには, cobordism, つまり境界を考えるだけでなく, 境界の境界, そして境界の境界の境界 \(\cdots \) などを全て考え, そのような拡張された cobordism category を定義域とした “functor” を調べる必要があると考えた。

そのような cobordism category は, 高次の圏と考えるべきであり, 当然値域も高次の symmetric monoidal category にしなればならない。Lurie [Lur09] らは, そのようなものを extended topological quantum field theory と呼んでいる。

高次の圏を使って topological quantum field theory をどのように考えるかについては, この論文が最初に (数学的に) 書かれたものだろう。 そこでの目標は, topological quantum field theory と fully dualizable object の対応, つまり cobordism hypothesis を証明することであった。

• cobordism hypothesis

また, これについての Lurie の lecture の video が, University of Texas Austin の Geometry Research Group のページ で公開されている。

Freed の解説 [Freb] は, quantum field theory の歴史的なところから書いてあるので, 最初にこれを読むのがよいと思う。 最後に応用できそうなことや関連したことがまとめてあるのもよい。

解説としては, Schommer-Pries の lecture note [Scha] もある。 その前半は, cobordism hypothesis を理解することであり, 高次の圏から解説してある。

高次の圏といっても様々なものがあるが, Lurie が提案しているのは, \((\infty ,n)\)-category を用いることである。 その方向では, Calaqueと Scheimbauer [CS] が \(n\)-fold Segal space を用いて \(n\)次元cobordism の成す \((\infty ,n)\)-category をキチンと定義している。

Ayala と Francis による factorization homology に基づいたアプローチ [AF] もある。

一方多様体の次元が低いときには, もっと古典的な高次の圏で記述できる可能性がある。実際, Schommer-Pries は, [Sch09] で 2次元の extended cobordism category を symmetric monoidal bicategory として構築し, それを用いて2次元の extended TQFT を調べている。 その枠組みで cobordism hypothesis を考えたものとして, Pstragowski の [Pst] がある。

3次元の extended TQFT でも, 1次元から3次元までしか考えないものなら, 2次元の extended TQFT と同じアプローチが使えそうである。実際, そのような3次元 extended TQFTについては, Bartlett, Douglas, Schommer-Pries, Vicary の [Bar+] で modular tensor category との関係が調べられている。

具体的な extended topological quantum field theory の構成としては, Hopkins と Lurie が Freed と Teleman と共に [Fre+10] で行なっているものがある。Compact Lie群 \(G\) の 分類空間の \(\Z \)係数コホモロジーの元から構成しようという試みである。 Trova [Tro] は, その中で使われている “quantization functor” について詳しく調べている。

Kirillov と Balsam [KB] は, Turaev-Viro invariant を \(3\)次元extended TQFT に拡張することを考えている。

定義域の bordism category の morphism を値域の category での invertible morphism にうつすものを invertible topological field theory と呼ぶが, その extended version は Freed [Frea] や Freed と Hopkins [FH21] により, symmetry protected topological phase (SPT phase) を記述するのに用いられている。

• invertible extended TQFT

Schommer-Pries [Schb] は, Madsen-Tillmann spectrum の connective cover を用いて分類を行なっている。

References

[AF]

David Ayala and John Francis. The cobordism hypothesis. arXiv: 1705.02240.

[Bar+]

Bruce Bartlett, Christopher L. Douglas, Christopher J. Schommer-Pries, and Jamie Vicary. Modular categories as representations of the 3-dimensional bordism 2-category. arXiv: 1509.06811.

[CS]

Damien Calaque and Claudia Scheimbauer. A note on the \((\infty ,n)\)-category of cobordisms. arXiv: 1509.08906.

[FH21]

Daniel S. Freed and Michael J. Hopkins. “Reflection positivity and invertible topological phases”. In: Geom. Topol. 25.3 (2021), pp. 1165–1330. arXiv: 1604.06527. url: https://doi.org/10.2140/gt.2021.25.1165.

[Frea]

Daniel S. Freed. Short-range entanglement and invertible field theories. arXiv: 1406.7278.

[Freb]

Daniel S. Freed. The cobordism hypothesis. arXiv: 1210.5100.

[Fre+10]

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins, Jacob Lurie, and Constantin Teleman. “Topological quantum field theories from compact Lie groups”. In: A celebration of the mathematical legacy of Raoul Bott. Vol. 50. CRM Proc. Lecture Notes. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010, pp. 367–403. arXiv: 0905.0731.

[KB]

Alexander Kirillov Jr. and Benjamin Balsam. Turaev-Viro invariants as an extended TQFT. arXiv: 1004.1533.

[Lur09]

Jacob Lurie. “On the classification of topological field theories”. In: Current developments in mathematics, 2008. Int. Press, Somerville, MA, 2009, pp. 129–280. arXiv: 0905.0465.

[Pst]

Piotr Pstrągowski. On dualizable objects in monoidal bicategories, framed surfaces and the Cobordism Hypothesis. arXiv: 1411.6691.

[Scha]

Christopher Schommer-Pries. Dualizability in Low-Dimensional Higher Category Theory. arXiv: 1308.3574.

[Schb]

Christopher Schommer-Pries. Invertible Topological Field Theories. arXiv: 1712.08029.

[Sch09]

Christopher John Schommer-Pries. The classification of two-dimensional extended topological field theories. Thesis (Ph.D.)–University of California, Berkeley. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2009, p. 254. isbn: 978-1109-46779-6. arXiv: 1112.1000.

[Tro]

Fabio Trova. Nakayama categories and groupoid quantization. arXiv: 1602.01019.