3次元多様体の不変量と topological quantum field theory

Chen と Le の [CL05] の Introduction によると, Witten は Jones polynomial の\(3\)次元的な解釈により, \(3\)次元多様体の不変量が単純 Lie環 (の quantum deformation) を用いて定義できることを予想したらしい。それを最初に実現したのが, Reshetikhin と Turaev の [RT91] であり \(\mathfrak{sl}_2\) の場合である。 Turaev-Viro invariant というものもある。

• Witten-Reshetikhin-Turaev (WRT) invariant [RT91]
• Turaev-Viro invariant [TV92; Kin]

これらは, \(3\)次元多様体の cobordism category から, Abelian monoidal category への functor つまり, topological quantum field theory に拡張できる。

Baseilhac と Benedetti [BB] は, hyperbolic topological quantum field theory というものを定義している。元になっているのは, Kashaev の [Kas94] らしいが。

このような \(3\)次元の TQFT は, quantum group などの Hopf algebra から構成できる [Kup91; CFS94] が, Barrett と Westbury の [BW96] や Gelfand と Kazhdan の [GK96] にあるように, 本質的には spherical category などの, dual を持つ Abelian monoidal category から定義されると考えるべきのようである。

• 表現論などで使われる monoidal category

Kirillov と Balsam [KB] は, そのような spherical category に拡張された Turaev-Viro invariant を \(3\)次元の extended TQFT に拡張することを考えている。

Turaev と Vireziler [TV] は, spherical category \(C\) に associate した Turaev-Viro invariant と \(C\) の Drinfel\('\)d center \(Z(C)\) に associate した Reshetikhin-Turaev invariant が一致していることを証明しているが, それを extended topological quantum field theory を使うことにより証明したのが, Balsam の [Bala] である。 Balsam は [Balb] でその結果を topological quantum field theory の同値に拡張している。

Balsam と Kirillov [BJ] によると, Turaev-Viro の TQFT は, 物性理論や quantum computing に現れる model と同等らしい。

• Lewin-Wen model あるいは string-net model あるいは tori-code model

Pfeiffer [Pfe] によると, Hennings の [Hen96] や Kauffman とRadford の [KR95] のように, ある種の Hof algebra を用いた不変量もある。 Reshetikhin-Turaev invariant と一致する場合もあるようである。Pfeiffer は coribbon weak Hopf algebra を用いて, それらを統一する不変量を作ったようである。

References

[Bala]

Benjamin Balsam. Turaev-Viro invariants as an extended TQFT II. arXiv: 1010.1222.

[Balb]

Benjamin Balsam. Turaev-Viro invariants as an extended TQFT III. arXiv: 1012.0560.

[BB]

Stephane Baseilhac and Riccardo Benedetti. Quantum hyperbolic geometry. arXiv: math/0611504.

[BJ]

Benjamin Balsam and Alexander Kirillov Jr. Kitaev’s Lattice Model and Turaev-Viro TQFTs. arXiv: 1206.2308.

[BW96]

John W. Barrett and Bruce W. Westbury. “Invariants of piecewise-linear \(3\)-manifolds”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 348.10 (1996), pp. 3997–4022. arXiv: hep-th/9311155. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-96-01660-1.

[CFS94]

Stephen-wei Chung, Masafumi Fukuma, and Alfred Shapere. “Structure of topological lattice field theories in three dimensions”. In: Internat. J. Modern Phys. A 9.8 (1994), pp. 1305–1360. arXiv: hep-th/9305080. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0217751X94000595.

[CL05]

Qi Chen and Thang Le. “Almost integral TQFTs from simple Lie algebras”. In: Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), 1291–1314 (electronic). arXiv: math/0408357. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2005.5.1291.

[GK96]

S. Gelfand and D. Kazhdan. “Invariants of three-dimensional manifolds”. In: Geom. Funct. Anal. 6.2 (1996), pp. 268–300. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02247888.

[Hen96]

Mark Hennings. “Invariants of links and \(3\)-manifolds obtained from Hopf algebras”. In: J. London Math. Soc. (2) 54.3 (1996), pp. 594–624.

[Kas94]

R. M. Kashaev. “Quantum dilogarithm as a \(6j\)-symbol”. In: Modern Phys. Lett. A 9.40 (1994), pp. 3757–3768. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394003610.

[KB]

Alexander Kirillov Jr. and Benjamin Balsam. Turaev-Viro invariants as an extended TQFT. arXiv: 1004.1533.

[Kin]

Simon A. King. Ideal Turaev-Viro invariants. arXiv: math/0509187.

[KR95]

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[Kup91]

Greg Kuperberg. “Involutory Hopf algebras and \(3\)-manifold invariants”. In: Internat. J. Math. 2.1 (1991), pp. 41–66. arXiv: math/9201301. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X91000053.

[Pfe]

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[RT91]

N. Reshetikhin and V. G. Turaev. “Invariants of \(3\)-manifolds via link polynomials and quantum groups”. In: Invent. Math. 103.3 (1991), pp. 547–597. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01239527.

[TV]

Vladimir Turaev and Alexis Virelizier. On two approaches to 3-dimensional TQFTs. arXiv: 1006.3501.

[TV92]

V. G. Turaev and O. Ya. Viro. “State sum invariants of \(3\)-manifolds and quantum \(6j\)-symbols”. In: Topology 31.4 (1992), pp. 865–902. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(92)90015-A.