Quantum Computing

Quantum computing は, 新しいアイデアが色々試されている分野のようで, 圏と関手の言葉を用いて量子力学を新しい視点から見直し, それにより quantum information protocol を抽象的なレベルで考えようとする試みもある。そこでは, compact closed category という概念が使われている。

Freedman ら [Fre+03] は quantum computation と topological modular functor の関係を調べている。その元になっているのは, Kitaev の toric-code [Kit03] だろうか。Kitaev が群 \(\Z _2\) を用いて考 えたことは, Hopf algebra や monoidal category に一般化されている。

面白いことに, 物性理論で独立に Levin と Wen が考えた model [LW05] も同じものであり, 更に Turaev と Viro の topological quantum field theory も同等らしい。

• Lewin-Wen model あるいは string-net model あるいは tori-code model

Armstrong [Arm] によると, anyon 達の通る knotted path の topological invariant を近似するのが, anyon model による quantum computing であり, “every knot invariant should give a quantum computer” だそうである。

References

[Arm]

John Armstrong. Categorifying Coloring Numbers. arXiv: 0803. 1642.

[Fre+03]

Michael H. Freedman, Alexei Kitaev, Michael J. Larsen, and Zhenghan Wang. “Topological quantum computation”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40.1 (2003). Mathematical challenges of the 21st century (Los Angeles, CA, 2000), 31–38 (electronic). arXiv: quant-ph/0101025. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-02-00964-3.

[Kit03]

A. Yu. Kitaev. “Fault-tolerant quantum computation by anyons”. In: Ann. Physics 303.1 (2003), pp. 2–30. arXiv: quant-ph/9707021. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0003-4916(02)00018-0.

[LW05]

Michael A. Levin and Xiao-Gang Wen. “String net condensation: A Physical mechanism for topological phases”. In: Phys.Rev. B71 (2005), p. 045110. arXiv: cond-mat/0404617 [cond-mat].