数理物理における圏論的概念

圏と関手の言葉は, どんどんその適用範囲を広げている。 数理物理学も例外ではない。

まずは, conformal field theory や string theory など, トポロジーとも関係の深い分野が挙げられる。その categorical な枠組みとして, \(2\)-category やその変種を用いるのは自然なアイデアのようである。Fiore の [Fio07], Tillmann の [Til98], Morton の [Mor], Fuchs と Schweigert と Valentino の [FSV] など。 \(n\)-Category Café では, 様々な物理に関係した話題が上っている。

\(n\)-Category Café の この post では, 高次の圏が物理で使われるようになった過程についての Baez と Lauda の論文 [BL11] について議論されている。

群の圏への作用も自然に現れるようである。 Lazaroiu の [Laz] では, Cibils と Marcos の [CM06] で定義されている skew category が用いられている。

他にも, 量子力学の基礎となっている Hilbert 空間と作用素による記述を, Joyal や Street などが monoidal category を調べるときに考えた図式に直す, という試みもある。 Abramsky と Coecke によるもので, [Coeb; Coea] という Coecke による講演録がある。論文としては [AC] がある。同様の試みとして Louis Kauffman による [Kau] もある。

また, condensed matter physics では, ribbon category や fusion category が使われている。

相対論を category の言葉で表わそうという試みもある。Oziewicz の [Ozi] である。

Toposを使おうという試み [HLS09] もある。 数理論理学と topos の関係が元になっているようである。それを algebraic quantum field theory に拡張しているのが, Nuiten の [Nui] である。

References

[AC]

Samson Abramsky and Bob Coecke. A categorical semantics of quantum protocols. arXiv: quant-ph/0402130.

[BL11]

John C. Baez and Aaron D. Lauda. “A prehistory of \(n\)-categorical physics”. In: Deep beauty. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2011, pp. 13–128. arXiv: 0908.2469.

[CM06]

Claude Cibils and Eduardo N. Marcos. “Skew category, Galois covering and smash product of a \(k\)-category”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 134.1 (2006), 39–50 (electronic). arXiv: math/0312214. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-05-07955-4.

[Coea]

Bob Coecke. Kindergarten Quantum Mechanics. arXiv: quant-ph/0510032.

[Coeb]

Bob Coecke. Quantum information-flow, concretely, and axiomatically. arXiv: quant-ph/0506132.

[Fio07]

Thomas M. Fiore. “Pseudo algebras and pseudo double categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 119–170. arXiv: math/0608760.

[FSV]

Jürgen Fuchs, Christoph Schweigert, and Alessandro Valentino. Bicategories for boundary conditions and for surface defects in 3-d TFT. arXiv: 1203.4568.

[HLS09]

Chris Heunen, Nicolaas P. Landsman, and Bas Spitters. “A topos for algebraic quantum theory”. In: Comm. Math. Phys. 291.1 (2009), pp. 63–110. arXiv: 0709.4364. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0865-6.

[Kau]

Louis H. Kauffman. Teleportation Topology. arXiv: quant-ph/0407224.

[Laz]

C. I. Lazaroiu. Graded D-branes and skew-categories. arXiv: hep-th/0612041.

[Mor]

Jeffrey Morton. Extended TQFT’s and Quantum Gravity. arXiv: 0710.0032.

[Nui]

Joost Nuiten. Bohrification of local nets of observables. arXiv: 1109.1397.

[Ozi]

Zbigmiew Oziewicz. Relativity grupoid insted of relativity group. arXiv: math/0608770.

[Til98]

Ulrike Tillmann. “\(\mathcal{S}\)-structures for \(k\)-linear categories and the definition of a modular functor”. In: J. London Math. Soc. (2) 58.1 (1998), pp. 208–228. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024610798006383.