群の圏への作用

群 \(G\) のある圏 \(C\) の object \(X\) への作用は, 群の準同型 \[ G \longrightarrow \mathrm {Aut}_{C}(X) \] である。\(G\) を object が一つの groupoid とみなして, functor \[ G \longrightarrow C \] と思ってもよい。

では, \(X\) が圏の圏での object だったらどうだろうか。もちろん上の strict な作用の定義は使えるが, 普通はもっと弱い意味の作用が必要になる。 つまり up to isomorphism で作用になっているものである。圏の二つの object が isomorphic であるときには, 普通はそれらは同一視して考えるからである。

つまり, 圏の圏は bicategory になるので, lax functor や colax (oplax) functor として考えないといけないわけである。

Khovanov と Thomas の [KT07]によると, 群の圏への作用を最初に考えたのは, Deligne [Del97] らしい。そして “genuine action” と “weak action” についても考えている。

• 群の圏への genuine action
• 群の圏への weak action

群の群への weak action も考えられるが, これは Maier と Nikolaus と Schweigert の [MNS] で, equivariant extended topological quantum field theory を構成するのに使われている。

位数2の巡回群の作用は involution であるが, involution を持つ category は様々な場面で登場する。 そのため, supercategory や involutive category などのように, 様々な名前で呼ばれている。

• supercategory or involutive category

Elias と Williamson [EW] は, 生成元と関係式で与えられている群の作用を定めるときに, 各生成元の作用を決めてそれらが関係式をみたす, という手順で行なう場合に combinatorial approach と呼んでいる。 一方, automorphism group の部分群 の作用のようなものを holistic approach と呼んでいる。

Deligne の [Del97] は, 群や monoid が生成元と関係式で与えられているとき, coherence condition を少ない情報で記述するにはどうすればよいか, という問題を braid群の場合に考えたものである。 それを一般の monoid で考えるために, Gaussent と Guiraud と Malbos [GGM15] は monoid を 2-category とみなし, 2-category の category の model structure で cofibrant replacement を取ることを提案している。

Khovanov や Seidel らによる研究に現れることから分かるように, braid群の圏への作用は, homological mirror symmetry などに関係が深い。また Klein型特異点の上の coherent sheaf の derived category にも現れる。

Mapping class group の表現の categorification として, mapping class group のある algebra の derived category への作用を構成しているのは, Lipshitz と Ozsváth と Thurston [LOT13] である。Siegel [Sie] は, その構成を純粋に combinatorial な議論だけで行なっている。

• braid群の圏への作用

関連したものとして, Coxeter group の作用がある。Elias と Williamson の [EW] など。 Braid群以外の群の作用も, 数理物理で使われている。 Lazaroiu の [Laz] などである。そこで使われている skew category は, Cibils と Marcos の [CM06] で定義されたものである。

Cibils と Marcos の構成は, 群 \(G\) が \(k\)- linear category \(\bm {C}\) に作用しているときに, そのquotient \(\bm {C}/G\) に対応する構成である。Keller [Kel05] や Asashiba [Asa11] でも同様の性質を持つ構成が定義され, orbit category と呼ばれている。また Asashiba は, これら三つの構成が同型であることも示している。

• 群が \(k\)-linear category に作用しているときに, その orbit category あるいは skew category

群の作用で「割ってはいけないときに割りたい」というのは, 様々な場面で現れる状況であり, 代数幾何学などでは stack, ホモトピー論では Borel construction など, 各分野で様々な解決法が考えられてきた。群の \(k\)-linear category への作用の場合の解決法が, orbit category の構成である。群の poset への作用のときには, Borcherds [Bor98] に同様の構成があり, homotopy quotient と呼ばれている。 Triangulated category への 群の作用を考えるときに, dg enhancement を使っているのは, Sosna の [Sos12] である。

同じ motivation に基づいて構成されたものなので, これらの間に何らかの関係があると考えるのは自然であるが, 実際 orbit category の構成は, \(k\)-linear category での Borel construction と考えてもよい。 Borel construction は, homotopy colimit の特別な場合であり, Thomason [Tho79] により homotopy colimit と Grothendieck construction は, 分類空間を通して対応していることが示されているが, orbit category の構成は, \(k\)-linear category の category での Grothendieck construction と考えられる。

• small category の図式に対する Grothendieck construction

また, triangulated category が model category による enhancement を持つ場合, model category の category での homotopy colimit [Ber14] を quotient と考えるというアイデアもある。Bergner と Robertson の [BR15] で考えられている。

• model category の homotopy colimit

Enrich されていない場合は, Grothendieck construction の right adjoint として comma category による構成があるが, \(k\)-linear category の場合は smash product construction という構成がある。これは, \(G\)-graded category から \(G\) の作用する category を構成する方法である。Asashiba [Asa] は, Grothendieck construction と smash product construction により \(G\) の作用する \(k\)-linear category の成す \(2\)-category と \(G\)-graded category の成す \(2\)-category が equivalent になることを証明している。

• graded category
• \(k\)-linear categoryのsmash product construction

このような軟弱な quotient ではなく, 本当に割りたい場合もある。 割ったものの 分類空間と, 分類空間をとってから割ったものの関係については, Babson と Kozlov [BK05] が poset の場合を中心に考えている。

群 \(G\) の圏への作用があるときに, 新しい圏を作る方法として, Drinfel\('\)d ら [Dri+10] は equivariantization という構成を導入した。

• equivariantization

有限群 \(G\) が位相空間に free に作用しているときは projection \(X \to X/G\) は被覆空間になるから, category への群の作用に対しても対応する covering の概念を考えるのは自然である。

• small category や linear category の covering

群作用を考えない covering の定義は, 例えば, Bridson と Haefliger の本 [BH99] にある。

群の category への作用に対して Mackey functor の類似を定義することもできる。Burciu の[Bur] で導入され, categorical Mackey functor と呼ばれている。

最初に述べたように, small category 全体は bicategoryを成すため, 群ではなく \(2\)-group の作用を考えるのも意味がある。 そのような研究としては, Morton と Picken の [MP] がある。

• \(2\)-group の small category への作用

また, 群の bicategory への作用も考えられている。Bernaschini, Galindo, Mombelli の [BGM]など。

• 群の bicategory への作用

References

[Asa]

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[Asa11]

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[Ber14]

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