Supercategories or Involutive Categories

Kang, Kashiwara, Tsuchioka [KKT16] は, functor \(\Pi :C\to C\) と natural isomorphism \(\xi : \Pi ^{2}\rarrow {\cong } 1_{C}\) で \(\xi \circ \Pi =\Pi \circ \xi \) をみたすもの持つ category のことを supercategory と呼んでいる。

Comes と Kujawa [BCK19] のように, \(\Z /2\Z \)-graded vector space の圏で enrich されている圏を supercategory と呼ぶ人もいるので注意する必要がある。 また Comes と Kujawa のものは, Kang, Kashiwara, Oh の [KKO14] では \(1\)-supercategory と呼ばれている。

Kang らと同じものは, Benini, Schenkel, Woike の [BSW19] では involutive category と呼ばれている。彼等は, Beggs と Majid の [BM09], Egger の [Egg11], Jacobs の [Jac12] を参照している。 Beggs と Majid は, involutive な monoidal category を考えていて, そのようなものを bar category と呼んでいる。

Involutive category という名前での解説としては, Donald Yau の [Yau20] がある。

名前に混乱があるので, Brundan と Ellis の [BE17] の Introduction の最後に表がある。そこでは, Kang らの意味の supercategory は \(\Pi \)-category と呼ばれているが, あまり良い名前とは思えない。 Involution に \(\Pi \) 以外の記号を使うこともあるからである。 Involutive category という名前が一番誤解がなくて良いと思う。

Kang らの目的は quiver Hecke algebra あるいは Khovanov-Lauda-Rouquier algebra の super version である quiver Hecke superalgebra を導入し, その 表現の category を調べることであった。 Kang, Kashiwara, Oh [KKO13] は, quiver Hecke superalgebra により quantum Kac-Moody algebra の supercategorification を考えている。

一方, Beggs と Majid は, \(C^{*}\)-algebra のような involution を持つ object を定義することを考えている。 Monoid object を定義するために monoidal category が必要なように, involution を持つ object を定義するためには involutive category あるいは supercategory が必要というわけである。

このように, ある構造を定義するために, その構造の category 版を持つ category が必要になることを micorocosm principle という。 Nikolić と Street [NS24] によると, この言葉は Baez と Dolan による。彼等の論文 [DS97] の100ページの脚注が参照されている。

• microcosm principle

Supercategory の高次化としては, Brundan と Ellis [BE17] の monoidal supercategory や \(2\)-supercategory がある。

• monoidal supercategory
• \(2\)-supercategory

References

[BCK19]

Jonathan Brundan, Jonathan Comes, and Jonathan Robert Kujawa. “A basis theorem for the degenerate affine oriented Brauer-Clifford supercategory”. In: Canad. J. Math. 71.5 (2019), pp. 1061–1101. arXiv: 1706.09999. url: https://doi.org/10.4153/cjm-2018-030-8.

[BE17]

Jonathan Brundan and Alexander P. Ellis. “Monoidal supercategories”. In: Comm. Math. Phys. 351.3 (2017), pp. 1045–1089. arXiv: 1603.05928. url: https://doi.org/10.1007/s00220-017-2850-9.

[BM09]

E. J. Beggs and S. Majid. “Bar categories and star operations”. In: Algebr. Represent. Theory 12.2-5 (2009), pp. 103–152. arXiv: math/0701008. url: https://doi.org/10.1007/s10468-009-9141-x.

[BSW19]

Marco Benini, Alexander Schenkel, and Lukas Woike. “Involutive categories, colored \(*\)-operads and quantum field theory”. In: Theory Appl. Categ. 34 (2019), Paper No. 2, 13–57. arXiv: 1802.09555.

[DS97]

Brian Day and Ross Street. “Monoidal bicategories and Hopf algebroids”. In: Adv. Math. 129.1 (1997), pp. 99–157. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1649.

[Egg11]

J. M. Egger. “On involutive monoidal categories”. In: Theory Appl. Categ. 25 (2011), No. 14, 368–393.

[Jac12]

Bart Jacobs. “Involutive categories and monoids, with a GNS-correspondence”. In: Found. Phys. 42.7 (2012), pp. 874–895. arXiv: 1003.4552. url: https://doi.org/10.1007/s10701-011-9595-7.

[KKO13]

Seok-Jin Kang, Masaki Kashiwara, and Se-jin Oh. “Supercategorification of quantum Kac-Moody algebras”. In: Adv. Math. 242 (2013), pp. 116–162. arXiv: 1206.5933. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.04.008.

[KKO14]

Seok-Jin Kang, Masaki Kashiwara, and Se-jin Oh. “Supercategorification of quantum Kac-Moody algebras II”. In: Adv. Math. 265 (2014), pp. 169–240. arXiv: 1303.1916. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.07.036.

[KKT16]

Seok-Jin Kang, Masaki Kashiwara, and Shunsuke Tsuchioka. “Quiver Hecke superalgebras”. In: J. Reine Angew. Math. 711 (2016), pp. 1–54. arXiv: 1107.1039. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0089.

[NS24]

Branko Nikolić and Ross Street. “Monoidal centres and groupoid-graded categories”. In: Theory Appl. Categ. 40 (2024), Paper No. 1, 3–31. arXiv: 2010.10656.

[Yau20]

Donald Yau. Involutive category theory. Vol. 2279. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, [2020] ©2020, pp. xii+243. isbn: 978-3-030-61203-0; 978-3-030-61202-3. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-61203-0.