Hecke algebra やその一般化

Complex reflection group の braid群からは, その group ring の quotient として Hecke algebra が定義される。

Elias と Williamson の [EW16] の Introduction に簡単な歴史が書いてあるが, それによると, 有限体 \(\F _{q}\) 上の split finite reductive group \(G\) と Borel subgroup \(B\) に対し \[ \mathrm {Map}_{B\times B}(G,\bbC ) \] に convolution で積を定義した algebra が起源のようである。 そして Iwahori [Iwa64] が Weyl group \(W\) と Bruhat decomposition \[ G = \coprod _{w\in W} Bw B \] を用いた \(q\) に依らない表示を発見し, 現在の定義になった。 そのため Iwahori-Hecke algebra と呼ばれることも多い。

Weyl group による記述が発見されたことにより, Coxeter group に一般化される。また, Broué, Malle, Rouquier [BMR98] は complex reflection group の Coxeter group 流の生成元と関係式による表示を発見し, それによる braid group, そして Hecke algebra の一般化を定義している。

他にも, 様々な一般化や変種が考えられている。 目にしたものを挙げると以下のようになる。

• affine Hecke algebra
• cyclotomic Hecke algebra
• double affine Hecke algebra あるいは Cherednik algebra
• rational Cherednik algebra [EG02]
• blob algebra [MS94]
• modular Hecke algebra [CM04a; CM04b]
• quasimodular Hecke algebra [Ban18]
• Khovanov-Lauda-Rouquier algebra あるいは quiver Hecke algebra [KL09; KL11; Rou]
• \(0\)-Hecke algebra [Nor79]
• nilHecke algebra [KK86]
• Yokonuma-Hecke algebra [Yok67]
• continuous Hecke algebra [EGG05]
• braided double [BB09]
• Drinfel\('\)d orbifold algebra [SW12]
• Hecke category

Hecke category は, Hecke algebra の categorification であり, Kazhdan と Lusztig [KL79] により構成されたのが最初だろうか。 Ellias と Williamson [EW16] によると, Iwahori により Hecke algebra が Weyl group で表されることが発見されたように, Hecke category の intrinsic な記述が Soergel [Soe07] により発見されている。

• Soergel bimodule

Hecke algebra 自体を Hopf algebra にするのは難しいが, Hecke algebra を含む Hopf algebra を Berenstein と Kazhdan [BK19] が構成している。

• Hecke-Hopf algebra

Raum と Skalski [RS22] によると, 作用素環の枠組みでの Hecke algebra は, Davis, Dymara, Januszkiewicz の [Dav+07] で考えられたのが最初のようである。最近では, Garncarek の [Gar16] で Hecke von Neumann algebra が, Raum らの [RS22] や Caspers らの [CKL21] で Hecke \(C^{*}\)-algebra が登場する。

• Hecke von Neumann algebra
• Hecke \(C^{*}\)-algebra

References

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