Coxeter Groups and Coxeter Systems

鏡映群を, 鏡映と関係式で表す標準的な表示を一般化したような生成元と関係式を持つ群を Coxeter group という。 そして, そのときの生成元と関係式の組を Coxeter system という。 Coxeter group を考えるときは, その生成元と関係式が指定されているとみなすので, Coxeter group と Coxeter system は同じものを表すと思ってよいだろう。

鏡映群を扱った教科書は数多く, Coxeter system のことも含まれているものも多い。例えば, Humphreys の本 [Hum90] のように。 Björner と Brenti の本 [BB05] や Michael Davis の本 [Dav08] は, Coxeter system の定義から始まっているが, Humphreys の本のように real reflection group に慣れておいてから Coxeter system の定義を見る方がよいと思う。

Coxeter system からは Coxeter graph などが定義される。

• Coxeter system
• Coxeter graph

グラフからは, 頂点を生成元とし頂点が辺で結ばれているときに対応する生成元が可換という条件により Coxeter system が定義できる。 できた Coxeter group を right-angled Coxeter group という。

• right-angled Coxeter group

Michael Davis の本 [Dav08] では, Coxeter system の Cayley graph による特徴付けが得られている。 そのために reflection system という名前の構造が導入されている。

• reflection system

ここで, reflection とは, Coxeter system \((W,S)\) の生成元 \(S\) から共役をとってできる元のことをいう。Coxeter system は reflection group を抽象化したものだから, reflection が重要な役割を果すのは当然である。Davis の仕事以外でも, Bessis の dual braid monoid [Bes03] などで使われる。 Reflection 自体を調べたものとしては, Mühlherr らの [FHM06; CM07] などがある。

有限の場合, Coxeter system よって finite reflection arrangement は, その Cayley graph が mirror graph という種類のグラフになることで特徴付けられることを Marc [Mar17] が示している。

通常扱うのは有限の場合であるが, 無限 Coxeter system を考えている人もいる。 Dyer と Hohlweg と Ripoll の [DHR16] では Davis の本 [Dav08] と Abramenko と Brown の本 [AB08] が参照されている。 また, 生成元が無限個ある Coxeter system を考える必要があるのか, と MathOverflow で聞いているのは, Humphreys である。

Coxeter system の関係式には, 鏡映群の名残りの位数\(2\)というものが含まれるが, それを外して Artin group が定義される。 対称群と braid group の対応の一般化である。

• Artin group

Coxeter element を用いると dual Artin group という群も定義される。Paolini と Salvetti の [PS21] で affine Artin group の \(K(\pi ,1)\) 問題を解決するのに用いられている。彼等の論文の §2.7 にまとめられている。

• dual Artin group

Coxeter system からは, いくつかの 単体的複体や polyhedral complex が定義される。 Coxeter complex や Michael Davis による Davis complex など。

• Coxeter complex
• nerve
• Davis complex
• Boolean complex [RT09; RT]
• subword complex [KM05; KM04b]
• Bestvina complex [Bes93]

Davis complex と nerve については, Davis の本 [Dav08] や論文 [Dav83] が Davis の web page から download できるので, それを読むのがよいと思う。 Davis の本では Chapter 7が Davis complex の章であり, その中の §7.1 で nerve について書かれている。 Small category の nerve とまぎらわしい名前であるが, Coxeter group \((W,S)\) の生成元の集合の中の spherical subset の成す abstract simplicial complex のことである。

Davis と Okun は, [DO01] で, Davis complex を用いた \(\ell ^2\)-homology の消滅に関する Singer conjecture への approach を考えている。その過程で planar graph の forbidden minor の一つである \(K_{3,3}\) が planar でないということの “complicated proof” を得ている。もう一つの forbidden minor である \(K_5\) の場合を考えたのが, Schroeder の [Sch13] である。

Coxeter system \((W,S)\) の nerve は, \(S\) の部分集合から生成される \(W\) の部分群 (special subgroup) というを用いて定義される simplicial complex である。Davis の本 [Dav08] の §7.1 に書かれているが, 誰が最初に定義したものなのか分からない。

Coxeter system のデータからは, 他にも様々なものが定義される。

• bracket algebra [KM04a]
• Soergel category

Soergel の論文は, 残念ながらドイツ語で書かれているが, その Soergel の構成の 別の構成が, Fiebig により [Fie08] で与えられている。その Introduction では, categorification という言葉が使われているが, 何の categorification になっているのだろうか。

Fiebig の論文では, Coxeter system から Braden と MacPherson の moment graph が構成されている点で興味深い。それに関しては, 同じく Fiebig の [Fie06] も見 るとよい。

グラフとの関連では, Larsen と Lindenstrauss の [LL14]がある。 彼らは Coxeter system \((W,S)\) とその graph の independence complex の関係 を調べるために, \(\Z [W]\)-module から cochain complex を定義し, そのコホモロジーを調べている。彼らはそれを Coxeter cohomology と呼んでいる。

• Coxeter cohomology

Euclid空間ではなく可微分多様体に作用する群も考えられている。つまり, 可微分多様体の diffeomorphism group の離散部分群で, 位数2の元で生成されているものである。Das と Deshpande の [DD16] では, Coxeter transformation group と呼ばれている。

• Coxeter transformation group

文献としては, Alexeevsky らの [Ale+07], Michael Davis の本 [Dav08] の Chapter 10, Gutkin の [Gut86] が挙げられている。

Coxeter group (system) の一般化として重要なのは, complex reflection group など pseudoreflection で生成された群であるが, 他もいくつか考えられている。 Krammer [Kra08] の fully colored graph や Heckenberger と Yamane [HY08] の Coxeter groupoid, そして Radcliffe [Rad] の hyperreflection group など。

• fully colored graph
• Coxeter groupoid
• hyperreflection group

References

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