Artin Group

Artin group とは, 簡単に言えば, Coxeter group の関係式から, 生成元の位数が \(2\) という条件を外してできる群である。 対称群と braid群の関係を知っていると, 分かりやすいだろう。つまり, Artin群とは braid群の一般化と考えることができる。

グラフからできるものは, right-angled Artin group と呼ばれる。 群ではなく monoid を生成すると Artin monoid を得る。

• right-angled Artin group
• Artin monoid

Artin の braid群 \(\mathrm {Br}_n\) については, 複素平面の互いに異なる点の成す configuration space (それを対称群の作用で割った空間) が \(K(\mathrm {Br}_n,1)\) になっている。一般の finite Artin group についても, complexified reflection arrangement を用いて自然に \(K(\pi ,1)\) が作れる。しかしその作り方には様々な方法がある。 また, infinite Artin group については分っていないようである。 この問題については, Charney の [Cha07] や Bessis の [Bes] を見るとよい。 Paris による解説 [Par14] も出た。

• Deligne による complexified real reflection group の braid 群に対する Brieskorn の予想の解決
• Brady による対称群の partial order とそれによる Artin のbraid群に対する有限単体的複体による \(K(\pi ,1)\) の構成 [Bra01]
• Brady-Watt による構成 [BW02]
• Salvetti complex

Bessis は complex reflection group の Artin群の生成元について [Bes01] で調べている。

Salvetti complex は, real central hyperplane arrangement (の複素化) に対し構成されるものであり, 胞体分割が arrangement の組み合せ論的構造により記述されているので, 具体的な計算に有効である。 例えば braid 群の局所係数のコホモロジーの計算に用いることができる。

Mulholland と Rolfsen [MR] は, Artin group の local indicability や交換子群について調べている。

Braided monoidal category の定義で braid群 をより一般の Artin群に変えたものも定義されている。 Appel と Toredano Laredo [AT19] による。

• braided Coxeter category

Artin 群を生成すときに, 群ではなく monoid を生成することも考えられている。Bessis の [Bes03] では, Artin-Brieskorn-Deligne-Garside-Saito-Tits monoid と呼ばれているが, 単に braid monoid とか Artin monoid と呼ぶのが普通ではないかと思う。

• braid monoid

Bessis は, その論文で dual braid monoid という別の monoid を構成している。

• dual braid monoid

Bessis の論文にも書いてあるが, \(A\)型の場合は, Birman と Ko と Lee [BKL98] が導入したものと一致する。 Gobet [Gob20] によると, \(B\)型の場合は, Bessis と Digne と Michel [BDM02] により考えられているようである。

References

[AT19]

Andrea Appel and Valerio Toledano Laredo. “Coxeter categories and quantum groups”. In: Selecta Math. (N.S.) 25.3 (2019), Art. 44, 97. arXiv: 1610 . 09741. url: https://doi.org/10.1007/s00029-019-0490-y.

[BDM02]

David Bessis, François Digne, and Jean Michel. “Springer theory in braid groups and the Birman-Ko-Lee monoid”. In: Pacific J. Math. 205.2 (2002), pp. 287–309. arXiv: math / 0010254. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2002.205.287.

[Bes]

David Bessis. Topology of complex reflection arrangements. arXiv: math/0411645.

[Bes01]

David Bessis. “Zariski theorems and diagrams for braid groups”. In: Invent. Math. 145.3 (2001), pp. 487–507. arXiv: math/0010323. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220100155.

[Bes03]

David Bessis. “The dual braid monoid”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 36.5 (2003), pp. 647–683. arXiv: math/0101158. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ansens.2003.01.001.

[BKL98]

Joan Birman, Ki Hyoung Ko, and Sang Jin Lee. “A new approach to the word and conjugacy problems in the braid groups”. In: Adv. Math. 139.2 (1998), pp. 322–353. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1761.

[Bra01]

Thomas Brady. “A partial order on the symmetric group and new \(K(\pi ,1)\)’s for the braid groups”. In: Adv. Math. 161.1 (2001), pp. 20–40. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.1986.

[BW02]

Thomas Brady and Colum Watt. “\(K(\pi ,1)\)’s for Artin groups of finite type”. In: Geom. Dedicata 94 (2002), pp. 225–250. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1020902610809.

[Cha07]

Ruth Charney. “An introduction to right-angled Artin groups”. In: Geom. Dedicata 125 (2007), pp. 141–158. arXiv: math/0610668. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-007-9148-6.

[Gob20]

Thomas Gobet. “Dual Garside structures and Coxeter sortable elements”. In: J. Comb. Algebra 4.2 (2020), pp. 167–213. arXiv: 1802.05418. url: https://doi.org/10.4171/JCA/42.

[MR]

Jamie Mulholland and Dale Rolfsen. Local indicability and commutator subgroups of Artin groups. arXiv: math/0606116.

[Par14]

Luis Paris. “\(K(\pi ,1)\) conjecture for Artin groups”. In: Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 23.2 (2014), pp. 361–415. arXiv: 1211.7339. url: https://doi.org/10.5802/afst.1411.