複素 hyperplane arrangement の K(π,1) 問題

複素平面 \(\bbC \) の configuration space \(\mathrm {Conf}_{n}(\bbC )\) が, \(K(\pi ,1)\) 空間であることは, 古くから知られていた。 \(\mathrm {Conf}_{n}(\bbC )\) は, braid arrangement の複素化の complement なので, その一般化として, 複素 hyperplane arrangement について, その complement が \(K(\pi ,1)\) だろうという予想は古くから考えられている。 Brieskorn は, Coxeter arrangement の complement は \(K(\pi ,1)\) だろうという予想を [Bri73] で立てた。そ の予想を解決したのは, Deligne [Del72] であった。 Deligne は, より一般に simplicial arrangement の複素化の complement が \(K(\pi ,1)\) であることを証明している。

• Coxeter arrangement の complement は \(K(\pi ,1)\)
• simplicial arrangement の 複素化の complement は \(K(\pi ,1)\)

Delinge の結果については, Delucchiの [Dela] を見るとよい。 Garside group の分類空間の構成と関連づけて, 簡潔に述べてある。

Delucchi [Delb] によると, その complement が \(K(\pi ,1)\) になることが知られている arrangement の大きな class として, simplicial arrangement の複素化の他に supersolvable arrangement がある。

• supersolvabole arrangement の complement は, \(K(\pi ,1)\) [Ter86; FR85]

K. Saito は, 1975年に free arrangement は \(K(\pi ,1)\) だろうという予想を立てたが, その反例が [ER95] で示されている。この Edelman と Reiner の Bulletin A.M.S. の論文は, \(K(\pi ,1)\)-arrangement について1995年頃までに何が分っていたかを知る上で便利である。

Bessis [Bes15] は, complex reflection group の reflection hyperplane の成す arrangement の complement は, \(K(\pi ,1)\) であることを示している。

Bessis は, その基本群, つまり braid 群の性質についての結果も得られている。 それを見ると, reflection group は “well generated” であるときに色々良い性質を持つことが分かる。例え ば, well generated complex reflection group の braid群は Garside group である, など。

Artin群 の \(K(\pi ,1)\) 問題については, Paris による解説 [Par14] が出たので, まずはそれを眺めてみるのがよいと思う。 最近では, Paolini と Salvetti [PS21] が affine Artin group の 場合について, \(K(\pi ,1)\) であることを示している。

そこでは, dual Artin group が用いられているが, その “dual approach” について, Paolini が [Pao] を書いている。

References

[Bes15]

David Bessis. “Finite complex reflection arrangements are \(K(\pi ,1)\)”. In: Ann. of Math. (2) 181.3 (2015), pp. 809–904. arXiv: math/0610777. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2015.181.3.1.

[Bri73]

Egbert Brieskorn. “Sur les groupes de tresses [d’après V. I. Arnol\('\)d]”. In: Séminaire Bourbaki, 24ème année (1971/1972), Exp. No. 401. Berlin: Springer, 1973, 21–44. Lecture Notes in Math., Vol. 317.

[Dela]

Emanuele Delucchi. Combinatorial remarks on a classical theorem of Deligne. arXiv: math/0611759.

[Delb]

Emanuele Delucchi. Diagram models for the covers of the Salvetti complex. arXiv: math/0409036.

[Del72]

Pierre Deligne. “Les immeubles des groupes de tresses généralisés”. In: Invent. Math. 17 (1972), pp. 273–302. url: https://doi.org/10.1007/BF01406236.

[ER95]

Paul H. Edelman and Victor Reiner. “Not all free arrangements are \(K(\pi ,1)\)”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 32.1 (1995), pp. 61–65. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1995-00557-4.

[FR85]

Michael Falk and Richard Randell. “The lower central series of a fiber-type arrangement”. In: Invent. Math. 82.1 (1985), pp. 77–88. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01394780.

[Pao]

Giovanni Paolini. The dual approach to the \(K(\pi , 1)\) conjecture. arXiv: 2112. 05255.

[Par14]

Luis Paris. “\(K(\pi ,1)\) conjecture for Artin groups”. In: Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 23.2 (2014), pp. 361–415. arXiv: 1211.7339. url: https://doi.org/10.5802/afst.1411.

[PS21]

Giovanni Paolini and Mario Salvetti. “Proof of the \(K(\pi ,1)\) conjecture for affine Artin groups”. In: Invent. Math. 224.2 (2021), pp. 487–572. arXiv: 1907.11795. url: https://doi.org/10.1007/s00222-020-01016-y.

[Ter86]

Hiroaki Terao. “Modular elements of lattices and topological fibration”. In: Adv. in Math. 62.2 (1986), pp. 135–154. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(86)90097-6.