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Garside 群とは, ある monoid (Garside monoid) から “ group of fractions”
を取ることにより得られる群である。Dehornoy と Paris の [DP99] で導入された。
Dehornoy と Paris [DP99] によると, 元々 Garside が braid群の標準的な関係式による表示を用いて定義した
monoid (positive braid monoid) を用いてbraid群の word problem を考えたのが起源のようである。
- Garside monoid と Garside group
Lee と Lee の [LL] では, Garside group の文献として [Gar69; Eps+92; BKL98; DP99;
Deh02; FG; Geb] が挙げられている。
今なら, Dehornoy らの本 [Deh+15] を読むのが良いと思う。 Addenda も arXiv から [Deh+]
として入手できる。
基本的な性質として次のものがある。
Garside group の 分類空間の構成としては, Charney と Meier と Whittlesey の [CMW04]
が重要である。 この構成から Garside group の分類空間として有限複体がとれることがわかる。
このことから分かるように, Garside group の構造は complex hyperplane arragement の
complement の \(K(\pi ,1)\) 問題に有用である。実際, Bessis の結果 [Bes] は, [Bes15] で使われている。
Brav と Hugh Thomas の Kleinian singularity の derived category の stability
conditionの空間に関する仕事 [BT11] でも, braid群が Garside group であることが, 重要な役割を果している。
関連した monoid や群として以下のようなものがある。
- Gaussian monoid
- Gaussian group
Monoid は object 一つの small category であるから, これらを small category
に一般化することが考えられる。実際, Dehornoy の [Deh09] による と, Garside category の概念は, 独立に何人か
[Bes; DM; Kra08] によって考えられたようである。 Garside category から作られた groupoid を Garside
groupoid という。Krammer の [Kra08] と Bessis の [Bes] を見るとよい。
- Garside category と Garside groupoid
また, Dehornoy の [Deh09] にもあるように, self-distributivity とも関係が深い。
References
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[Bes]
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[Bes15]
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[Deh+15]
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