Triangulated category の stability condition の成す空間

Bridgeland は, string theory における M.R. Douglas の仕事 [Dou02] に inspire されて triangulated category に stability condition という概念を導入 [Bri07] した。Homological mirror symmetry などに関係しているらしい。

解説としては, Bridgeland 自身による ICM 2006 での講演録 [Bri06] や [Bri09a] がある。 最初に読むには後者の方がよいだろう。 §2では, その string theory での起源についても述べてある。Stability condition の文献については, Okada の [Oka06] にかなりのものがまとめられている。 ここ (part 1)と ここ (part 2)の blog での解説もみるとよい。

• triangulated category の stability condition
• triangulated category \(\bm {T}\) の stability condition の集合 \(\mathrm {Stab}(\bm {T})\) の位相

Triangulated category \(\bm {T}\) に対し, \(\bm {T}\) の stability condition は, \(\Hom (K(\bm {T}),\bbC )\) の元と \(\R \) で添字付けられた \(\bm {T}\) の additive subcategory の族の組で与えられる。 よって自然な射影 \[ Z : \mathrm {Stab}(\bm {T}) \longrightarrow \Hom (K(\bm {T}),\bbC ) \] が得られる。Stability condition の性質として, 次は最も基本的なものである。

• \(\textrm {Stab}(\bm {T})\) の各連結成分 \(\Sigma \) に対し, \(Z(\Sigma )\) を含む \(\Hom (K(\bm {T}),\bbC )\) のlinear subspace \(V(\Sigma )\) があり \[ Z : \Sigma \longrightarrow V(\Sigma ) \] は, \(V(\Sigma )\) の開集合の上への局所同相写像である。

このことから, \(K(\bm {T})\) が finite rank ならば \(\mathrm {Stab}(\bm {T})\) は複素多様体になることが分かる。当然, どのような \(\bm {T}\) に対しどのような複素多様体が現れるのかは, 興味深い問題である。

Okada は stability condition を持つ (small) triangulated category に対し, その object の集合に自然に位相が定義できることを [Oka] で述べている。

よく研究されているのは, derived category の stability condition の空間である。Macri の [Mac] や Toda の [Tod08; Tod09] など。 どのような場合が分かっているかについては, Bridgeland の [Bri09a] を見るのが良いだろう。

興味深い場合として, \(A_n\) 型の Kleinian singularity の場合がある。Richard Thomas は, [Tho06] で stability condition の空間の適当な連結成分を取ると, 複素平面 \(\bbC \) の互いに異なる点の configuration space の universal covering が現われることを示している。その後, Ishii と Ueda と Uehara は [IUU10] で \(A_n\) 型の場合には, stability condition の空間が連結であり, stability condition の空間自体が configuration space の universal cover になっていることを示している。一般の場合は, Brav と Hugh Thomas が [BT11] で braid群の作用が faithful であることを示している。

\(Z\) は局所同相写像なので, 被覆空間に近い。一般に \(Z\) を適当なところに制限したら被覆空間になるが, 具体的にどこに制限したらよいかは難しい。\(A_n\)型 の Kleinian singularity の場合の他には, Shiina により頂点 2つの quiver の表現の derived category の場合が [Shib] で, 頂点3つの場合が [Shia] で調べられている。

Richard Thomas の結果は, Khovanov と Seidel [KS02] によるその triangulated category の解析に依存するが, Khovanov と Seidel の目的はその圏への braid群の作用, あるいはその圏の autoequivalence の成す群を調べることだった。

• triangulated category の autoequivalence の成す群

より一般の stability condition と autoequivalence の成す群の関係については, Lowrey の [Low12] がある。

一般の Klein型特異点についても, 対応する braid群があることから, 類似の結果が成り立つことが予想される。 Bridgeland の [Bri09b] で調べられている。 それについては, Brav と H. Thomas の [BT11] で証明されたようである。 鍵となるのは, braid群の Garside structure のようである。

このような braid群の作用は, spherical object による twist から得られることから, spherical object を持たない triangulated category の場合には, stability condition の空間はもっと単純になることが予想される。 少なくとも基本群は。 実際, Huybrechts と Macri と Stellari が [HMS08] で, spherical object を持たない2次元 Calabi-Yau category の場合に stability condition の空間が連結かつ単連結であることを証明している。

Braid群 と言えば exceptional collection であるが, exceptional collection で生成されている triangulated category の stability condition の空間の研究は, Macri [Mac07] により始められたようである。Dimitrov と Katzarkov の [DK16] では, stability condition \(\sigma \) に対し \(\sigma \)-exceptional collection という概念が導入されているが, その動機も exceptional collection で生成された triangulated category の stability condition を調べることである。

Stability condition の空間を (essentially small) triangulated category の category から位相空間の category への functor と考えて調べるのも, 興味深い問題である。Macri らの [MMS09] など。

Dimitrov, Haiden, Katzarkov, Kontsevich [Dim+14] は, triangulated category と曲面の幾何学の類似を発見している。そして Thurston による曲面上の力学系の研究の類似を, triangulated category 上で展開しようとしている。 対応は, Woolf の [Woo] にある表が分かり易い。

その類似によると, stability condition の空間は, Teichmüller space に対応する。 その類似から, Teichmüller space の compactification に対応する stability condition の空間の compactification を構成しようという試みも行われている。例えば, [Bol; BDL; KKO; Bro+; BMS] など。

Stability condition の一般化として, Gorodentsev と Kuleshov と Rudakov [GKR; GKR04] の \(t\)-stability や Jørgensen と Paukstzello [JP13] の co-stability condition がある。更に Jørgensen と Paukstzello は, [JP15] でその一般化を考えている。

• \(t\)-stability
• co-stability
• co-slicing

最近では, stable \(\infty \)-category の文脈で考えることもできる。Fiorenza と Loregian と Marchetti の [FLM19] など。

References

[BDL]

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