被覆空間

基本群と被覆空間は密接な関係にある。また, ファイバー束や fibration の練習としても被覆空間を学ぶことは重要である。 そのため, [玉20] では, 最初にファイバー束の toy model として被覆空間についてまとめた。 また, 数学セミナーにも簡単な説明 [玉13] を書いた。

• 局所同相写像による被覆空間 (covering space) の定義
• 被覆空間の同値の定義
• 被覆変換 (covering transformation) の定義
• 被覆変換群 (covering transformation group) の定義
• 被覆空間 \[ p : \widetilde {X} \longrightarrow X \] に対し, \(p\) の被覆変換群は \(N(p_*(\pi _1(\widetilde {X})))/p_*(\pi _1(\widetilde {X}))\) と同型である。
• 正則被覆 (regular covering または Galois covering) の定義
• 普遍被覆 (universal covering) の定義

ファイバー束を勉強した後で, ファイバーが離散位相を持つ局所自明なファイバー束として被覆空間を見直すと, 色々見通しがよくなり, 理解が深まると思う。

ファイバー束の重要な性質として, covering homotopy property があるが, 被覆空間では, 道やその間のホモトピーの lift の存在が対応する。

• 被覆空間の底空間の任意の連続な道に対し, その始点のファイバーの中の点を決めれば, その点を始点とする道の liftが一意的に存在する。

被覆空間の理論では, 空間に いくつかの連結性に関する条件を仮定する。 底空間が連結であることを仮定するのは当然であるが, 例えば, 普遍被覆空間の存在のためには, 局所弧状連結 (locally path-connected) かつ半局所単連結 (semilocally simply-connected) であることが, 必要 (必要十分) である。

• locally path-connected
• semilocally simply-connected
• 普遍被覆の存在と一意性

局所弧状連結だけで何ができるかについて考えている人 [Bro+12] もいる。 この semilocally simply connected という条件については, 基本群に位相を入れた topological fundamental group で考えるとよいようである。Biss の [Bis02] や Calcut と McCarthy の [CM09] など。

• 局所弧状連結な空間 \(X\) の topological fundamental group が discrete であるための必要十分条件は, \(X\) が semilocally simply-connected であることである。

この視点に基づいた covering space の理論を展開しているのが, Brazas の [Bra12] である。Local homeomorphism で path と homotopy が lift を持つもの, として semicovering の概念を定義している。 また, [Bra15]では, そのような一般化された被覆の理論を統一する枠組みを提案している。 Kowkabi と Mashayekhy と Torabi の [KMT17] も見るとよい。

• local homeomorphism
• semicovering

Regular cell complex の場合は, face poset の言葉に翻訳できるはずである。そのために, poset の covering を考えているのが, Barmak と Minian の [BM] である。

グラフ, つまり\(1\)次元胞体複体の場合には, Leighton の定理と呼ばれる定理がある。2つの有限グラフは, 普遍被覆が一致すれば共通の有限被覆を持つ, というものである。 Leighton により [Lei82] で証明された。 証明は, Leighton のもの以外に, Bass と Kulkarni のもの [BK90], Neumann のもの [Neu10], Woodhouse のもの [Woo21] などがある。

• Leighton’s graph covering theorem

一般化としては, Haglund [Hag06] が提案している cubical complex の場合の一般化がある。

Riemann面など上では分岐被覆を考えることが多い。

• 分岐被覆 (branched covering)

具体的な問題からできる被覆空間は, monodromy と密接に関連している。

• monodromy

被覆の概念は, 位相空間以外にも拡張されている。 基本群に類するものがあれば, 関連して covering があると考えてよいだろう。例えば, 体のGalois理論など。

そのような状況を扱うための一般的な枠組みとして Grothendieck が SGA 1 [SGA103] で導入したのが, Galois category である。名前の通り, Galois理論と被覆空間の理論を統一して扱うことを目的とする。 これにより scheme の étale fundamental group などが定義できる。

• Galois categroy

ただ, このGrothendieck の枠組みに入らないものもある。例えば, Le Meur [Le 07] の最後では, 有限次代数の covering は, Galois category として扱えないことが書いてある。関連した covering として linear category の covering や pointed coalgebra の covering, そして pointed Hopf algebra の covering などが考えられている。他にも様々な covering が考えられている。

• bound quiver の基本群
• linear category の covering
• pointed coalgebra の covering (Chin の [Chi10])
• pointed Hopf algebra の covering (Beneish と Chin の [BC15])
• profinite graph の covering [ACD]
• hypergraph の covering [Dör80]

被覆写像の inverse limit を取ると, solenoid という空間ができる。

• solenoid

References

[ACD]

Amrita Acharyya, Jon M. Corson, and Bikash Das. Coverings of Profinite Graphs. arXiv: 1507.00791.

[BC15]

Esther Beneish and William Chin. “Coverings of graded pointed Hopf algebras”. In: J. Algebra 422 (2015), pp. 730–740. arXiv: 1401.8061. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2014.08.016.

[Bis02]

Daniel K. Biss. “The topological fundamental group and generalized covering spaces”. In: Topology Appl. 124.3 (2002), pp. 355–371. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00247-4.

[BK90]

Hyman Bass and Ravi Kulkarni. “Uniform tree lattices”. In: J. Amer. Math. Soc. 3.4 (1990), pp. 843–902. url: https://doi.org/10.2307/1990905.

[BM]

Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. \(G\)-colorings of posets, coverings and presentations of the fundamental group. arXiv: 1212.6442.

[Bra12]

Jeremy Brazas. “Semicoverings: a generalization of covering space theory”. In: Homology Homotopy Appl. 14.1 (2012), pp. 33–63. arXiv: 1108.3021. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n1.a3.

[Bra15]

Jeremy Brazas. “Generalized covering space theories”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 35, 1132–1162. arXiv: 1508.05004.

[Bro+12]

N. Brodskiy, J. Dydak, B. Labuz, and A. Mitra. “Covering maps for locally path-connected spaces”. In: Fund. Math. 218.1 (2012), pp. 13–46. arXiv: 0801.4967. url: https://doi.org/10.4064/fm218-1-2.

[Chi10]

William Chin. “Galois coverings of pointed coalgebras”. In: J. Algebra 324.11 (2010), pp. 3169–3182. arXiv: 1006.1070. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.06.020.

[CM09]

Jack S. Calcut and John D. McCarthy. “Discreteness and homogeneity of the topological fundamental group”. In: Topology Proc. 34 (2009), pp. 339–349. arXiv: 0904.4739.

[Dör80]

W. Dörfler. “A homotopy theory for hypergraphs”. In: Glas. Mat. Ser. III 15(35).1 (1980), pp. 3–16.

[Hag06]

Frédéric Haglund. “Commensurability and separability of quasiconvex subgroups”. In: Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), pp. 949–1024. arXiv: 0904.2698. url: https://doi.org/10.2140/agt.2006.6.949.

[KMT17]

Majid Kowkabi, Behrooz Mashayekhy, and Hamid Torabi. “When is a local homeomorphism a semicovering map?” In: Acta Math. Vietnam. 42.4 (2017), pp. 653–663. arXiv: 1602.07260. url: https://doi.org/10.1007/s40306-017-0205-4.

[Le 07]

Patrick Le Meur. “The universal cover of an algebra without double bypass”. In: J. Algebra 312.1 (2007), pp. 330–353. arXiv: math/0507513. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.10.035.

[Lei82]

Frank Thomson Leighton. “Finite common coverings of graphs”. In: J. Combin. Theory Ser. B 33.3 (1982), pp. 231–238. url: https://doi.org/10.1016/0095-8956(82)90042-9.

[Neu10]

Walter D. Neumann. “On Leighton’s graph covering theorem”. In: Groups Geom. Dyn. 4.4 (2010), pp. 863–872. arXiv: 0906.2496. url: https://doi.org/10.4171/GGD/111.

[SGA103]

A. Grothendieck. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)], 3. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. [Algebraic Geometry Seminar of Bois Marie 1960-61], Directed by A. Grothendieck, With two papers by M. Raynaud, Updated and annotated reprint of the 1971 original [Lecture Notes in Math., 224, Springer, Berlin; MR0354651 (50 #7129)]. Paris: Société Mathématique de France, 2003, pp. xviii+327. isbn: 2-85629-141-4. arXiv: math/0206203.

[Woo21]

Daniel J. Woodhouse. “Revisiting Leighton’s theorem with the Haar measure”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 170.3 (2021), pp. 615–623. arXiv: 1806.08196. url: https://doi.org/10.1017/S0305004119000550.

[玉13]

玉木大. “被覆という考え方”. In: 数学セミナー 1月号 (2013), pp. 13–17.

[玉20]

玉木大. ファイバー束とホモトピー. 森北出版, 2020, p. 320. isbn: 978-4-627-05461-5.