分岐被覆

被覆空間については, 基本群と関係が深いこともあり, 扱っている教科書は多いが, 分岐被覆については, 代数的トポロジーの文献ではあまり扱われていない。 Massey の本 [Mas77] の被覆空間の章の最後の Note の一つとして, 少し分岐被覆について書かれている。そこに挙げられている文献は, Fox の [Fox57] と Michael の [Mic63] である。

分岐被覆の定義には, 対称積を用いた Larry Smith [Smi83] と Dold [Dol86] のものがある。 それと関数環上の Frobenius \(n\)-homomorphism の関係を調べたのが, Buchstaber と Rees の [BR08] である。Frobenius \(n\)-homomorphism は彼等によって [BR02] で導入された概念である。

分岐被覆の分類空間が, Brand の [Bra80] で定義されている。 そのホモトピー型についても調べられている。

• 分岐被覆の分類空間

分岐被覆が実際に使われる場面としては, Riemann面が代表的である。

• Riemann面上の分岐被覆の branch data

Riemann面上の分岐被覆については, [EKS84], そして Pervova と Petronio の [PP06] の参考文献を見るとよい。 後者の論文は branch data の実現可能性について議論している。Branch data は, 各 branch point におけるある自然数の partition であり, 対称群の表現と関係がある。 例えば, Okounkov の [Oko00] など。\(\CP ^1\) 上の branched covering の数を数えて Hurwitz number [Eke+01] が定義される。

• Hurwitz number

その tropical 版が [CJM10] で考えられている。

\(\CP ^{1}\) の分岐被覆の moduli space は Hurwitz space と呼ばれる。

• Hurwitz space

Riemann面と graph の類似性から, graph の branched covering を考えているのは, Corry [Cor12] である。そこでは, Grothendieck 流の Galois 理論が展開され, étale fundamental group も定義されている。

Rieck と Yamashita の [RY13] によると, closed orientable 3-manifold が \(S^3\) 上の branched covering として表せることは Alexander [Ale20] により証明されたことのようである。ただ Alexander のものは branching set が部分多様体ではないので, branching set がより綺麗になるように改良されている。 Feigin [Fei86] による Alexander の議論の解説で, branching set が link にとれることが示されているが, それ以前に Hilden [Hil76] と Montesinos [Mon76] は knot を branching set とする3重 irregular branched covering として表せることを示している。ドイツ語ではあるが, 同様のことは Hirsch [Hir74] によっ ても示されているようである。

Izmatiev と Joswig の [IJ03] は, そのデータを組み合せ論的に表わす方法を提案している。 Hilden らによる改良版 [Hil+05] は, Revista Colombiana de Matemáticas 誌の web siteから download できる。 更に著者が加わった “geometrized version” [Bru+08] もある。

\(4\)次元多様体については, Piergallini の結果 [Pie95] がある。

References

[Ale20]

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[BR02]

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[BR08]

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