Tropical Mathematics

Tropical mathematics という分野があるらしい。 2005年2月に城崎のセミナーに参加して知った。

最初に読むものとしては, 例えば Brugallé と Shaw の [BS] がよいかもしれない。Tropical algebraic geometry 寄りではあるが。その解説や Speyer と Sturmfels の [SS09] によると, 先駆的な仕事をした Brazil人の Imre Simon という人にちなんで, Brazil \(=\) tropical ということで, tropical という名前が付いたらしい。 どの分野に入れるの適当なのかよく分からないが, とりあえず組み合せ論のページから link を張った。

Tropical semiring あるいは semifield という, 実数に変な積と和を定義した semiring 上で, 従来の代数をやると面白いことが分かるらしい。それにより, 様々な数学の分野が tropical化できるらしいのである。

• \(\R \cup \{-\infty \}\) で \(\max \) を和, \(+\) を積として定義される semifield \(\mathbb{T}\)

もちろん, \(\R \cup \{\infty \}\) で \(\min \) を和, \(+\) を積として定義したものを用いても, 本質的には同じである。

少し変えて, 閉区間 \([0,1]\) 上で \(\max \) を和, \(\min \) を積として定義される semiring を考えている人もいる。Nitica と Sergeev の [NS] では, max-min semiring と呼ばれている。その論文の Introduction には, いくつかの参考文献も挙げられている。

• max-min semiring

Nitica と Sergeev は, max-min semiring を用いて tropical mathematics の真似をしようとしているようである。

この tropical semiring のような加法に関し全ての元が idempotent である semiring とその上の semimodule については, [CGQ] がある。

Connes と Consani [CC11] は, \(1+1=1\) をみたす semiring を標数 \(1\) の semiring と呼んでいる。よって tropical semiring は標数 \(1\) である。 Connes と Consani は, このことから \(\F _1\) との関係を調べている。

もっとも, 普通に代数をやるときにはこの大量の idempotent の存在が障害となるので, それを克服するために, Izhakian [Izh] が tropical semiring の改良を考えている。それが, Izhakian と Rowen [IRa; IRb; IRc] により supertropical semiring として一般化されている。更に, [IKR] では, layered supertropical domain という一般化が考えられている。

代数的構造としては, まずはベクトル空間やアフィン空間が基本だろう。

• tropical linear algebra

そしてアフィン空間から各種空間が作られる。Tropical polytope や tropical hyperplane arrangement も考えられる。

• tropical metric geometry

射影空間の tropical版の定義は, Mikhalkin と Zharkov の [MZ08] や Ansola と de la Puenta の [AP09] などに書いてある。

• tropical projective space

より一般に, tropical algebraic variety を考えることができる。 Richter-Gebert と Sturmfels と Theobald の [RST05] は, 代数幾何学の tropical版を目指すものである。

• tropical algebraic geometry

Tropical projective space や tropical Grassmannian については, Zare の [Zar] をみるとよい。

Algebraic variety が tropical 化できると, 群の表現もtropical化できる。 Alessandrini の [Ale] は, 群の表現の成す variety の tropical 化の試みである。

代数的な枠組みとしては, Durov の [Dur] がある。

References

[Ale]

Daniele Alessandrini. Tropicalization of group representations. arXiv: math/0703608.

[AP09]

M. Ansola and M. J. de la Puente. “A note on tropical triangles in the plane”. In: Acta Math. Sin. (Engl. Ser.) 25.11 (2009), pp. 1775–1786. arXiv: math/0701222. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10114-009-7345-y.

[BS]

Erwan Brugallé and Kristin Shaw. A bit of tropical geometry. arXiv: 1311.2360.

[CC11]

Alain Connes and Caterina Consani. “Characteristic 1, entropy and the absolute point”. In: Noncommutative geometry, arithmetic, and related topics. Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press, 2011, pp. 75–139. arXiv: 0911.3537.

[CGQ]

Guy Cohen, Stephane Gaubert, and Jean-Pierre Quadrat. Duality and separation theorems in idempotent semimodules. arXiv: math/0212294.

[Dur]

Nikolai Durov. New Approach to Arakelov Geometry. arXiv: 0704.2030.

[IKR]

Zur Izhakian, Manfred Knebusch, and Louis Rowen. Layered Tropical Mathematics. arXiv: 0912.1398.

[IRa]

Zur Izhakian and Louis Rowen. Supertropical algebra. arXiv: 0806.1171.

[IRb]

Zur Izhakian and Louis Rowen. Supertropical matrix algebra. arXiv: 0806.1178.

[IRc]

Zur Izhakian and Louis Rowen. Supertropical Matrix Algebra II: Solving tropical equations. arXiv: 0902.2159.

[Izh]

Zur Izhakian. Tropical Arithmetic and Tropical Matrix Algebra. arXiv: math/0505458.

[MZ08]

Grigory Mikhalkin and Ilia Zharkov. “Tropical curves, their Jacobians and theta functions”. In: Curves and abelian varieties. Vol. 465. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2008, pp. 203–230. arXiv: math/0612267. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/465/09104.

[NS]

Viorel Nitica and Sergei Sergeev. On the dimension of max-min convex sets. arXiv: 1307.2853.

[RST05]

Jürgen Richter-Gebert, Bernd Sturmfels, and Thorsten Theobald. “First steps in tropical geometry”. In: Idempotent mathematics and mathematical physics. Vol. 377. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 289–317. arXiv: math/0306366.

[SS09]

David Speyer and Bernd Sturmfels. “Tropical mathematics”. In: Math. Mag. 82.3 (2009), pp. 163–173. arXiv: math/0408099. url: http://dx.doi.org/10.4169/193009809X468760.

[Zar]

Hadi Zare. Tropicalisation for Topologists. arXiv: 1105.5808.