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Tropical (algebraic) geometry とは, その名の通り, tropical variety の研究を目的とした分野である。
とりあえずどういうものか知りたかったら, Mikhalkin の ICM 2006 の講演録 [Mik06] がある。Draisma の[Dra]
で勧められている文献は, [BG84; EKL06; Mik04; PS05; RST05; SS04] である。 より新しい解説としては,
Mikhalkin の lecture note [Mik] や Maclagan の [Mac] や Maclagan と Sturmfels により書かれた本
[MS15] がある。 Brugallé, Itenberg, Mikhalkin, Shaw の [Bru+] もある。
Tropical variety あるいは tropical scheme の概念がどこまで確立しているのかよく知らないが, hypersurface
の場合には, tropical polynomial の「零点」として定義することができる。このときの「零点」というのは, piecewise linear
function である tropical polynomial が可微分でない点のことである。
Maclagan と Sturmfels の本などで扱われているのは, algebraic torus の subvariety を tropicalize
してできるものが中心であるが, そのようなものは, Bergman fan と呼ばれるものになっているので, Bergman fan
を研究する分野と言ってもよい。
Mikhalkin [Mik06] は, そのような “affine tropical variety” を貼り合わせたものを tropical variety
と呼んでいる。更に Mikhalkinは, 未完成 の本の中で tropical algebra の sheaf を用いて tropical
scheme を定義している。 この MathOverflow の質問 では, Durovの [Dur] との関係が聞かれているが,
誰も回答できないようである。
通常の代数幾何における概念や事実の類似が, どうなっているかというのは, 基本的な問題だろう。Hilbert の Nullstellensatz や
Riemann-Roch の定理などの類似が考えられている。
- tropical Nullstellensatz (Shustin と Izhakian の [SI])
- tropical Riemann-Roch theorem (Gathmann と Kerber の [GK08])
- tropical projective space (Mikhalkin と Zharkov の [MZ08])
- tropical Jacobian (Mikhalkin と Zharkov の [MZ08])
- tropical elliptic curve の group law (Vigeland の [Vigb])
- tropical variety としての rational tropical curve の moduli space [Mik07]
- tropical intersection theory [AR10]
Gathmann と Kerber の tropical Riemann-Roch の定理は, Baker と Norine の finite
graph に関する Riemann-Roch [BN07] を metric graph に拡張したものである。
単なるアナロジーというだけでなく, 実際に代数幾何の Riemann-Roch と tropical な (graph の)
Riemann-Roch が深い関係にあることが M. Baker の [Bak08] で示されていて興味深い。
更に, Zharkov [Zha13] によると, 彼と Itenberg と Katzarkov と Mikhalkin との共著 [Ite+19] で
tropical homology や cohomology が考えられているようである。
- tropical homology and cohomology
Shaw の [Sha] によると, Itenberg らが考えているのは, complex projective variety の Hodge
decomposition の類似のようである。
特異点を持つ tropical variety も考えられている。Markwig らの [MMSa; MMSb] など。
Scheme の枠組みについては, Giansiracusa と Giansiracusa の [GG16] がある。その主結果の一つは,
\(\F _1\)-toric scheme \(X\) を semiring \(S\) に値を持つ valuation を持つ環 \(R\) に base change したもの \(X_{R}\) の
close subscheme から, \(S\) にbase change したもの \(X_{S}\) の closed subscheme への functor
の構成である。 この \(\F _1\) との関係については, Connes と Consani [CC11] など, 様々な人が speculate しているが,
このように具体的な形で関係が述べられるのは興味深い。
他にも様々なアプローチがあり, Lorscheid の [Lor23] の Introduction で History としてまとめられている。
Tropical curve の moduli space のホモトピー型は, Kozlov により [Koz09; Koz08; Koz11]
などで調べられている。そこでは, meric graph の moduli space へ埋め込むことにより, topological
combinatorics の道具を用いて調べられている。
もちろん, tropical geometry では代数幾何では不可能な現象が起こったりする。 Vigeland の [Viga]
など。
Tropical geometry の応用としては, やはり Mikhalkin の [Mik06] を見るとよい。Toric surface 上の
curve の数え上げの公式が有名な応用である。その一般化を Eric Katz [Kat] が考えている。
関連したものとしては, Welschinger invariant というものがある。Shustin [Shu06] によると, genus \(0\)
Gromov-Witten invariant の類似である real rational algebraic surface の不変量らしい。
Dickenstein と Feichtner と Sturmfels の [DFS07] では, Gel\('\)fand-Kapranov-Zelevinsky の
discriminant や resultant が tropical geometry を用いて調べられている。
Fock と Goncharov の [FG07] は, Riemann面上の lamination space は, Teichmüller space
の tropical化である, と言っている。それにより Teichmüller space の compactification も考えられる。他に
Alessanrini という人も [Ale] で Teichmüller space のコンパクト化を考えている。
ミラー対称性を調べるときにも, toric variety の場合は tropical geometry を使うとよいようである。Abouzaid の
[Abo09] など。
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