|
Riemann-Roch の定理は, 様々な見方ができて面白い。
遥か昔, 学部生のとき, 4回生の講究で Adamsの “Student’s Guide” [Ada72] を読んだのだが, その中に入っていた
Dyer の解説 “Relation between cohomology theories” で初めて知った。 そこでは, タイトルにもあるように,
一般コホモロジー論の間の関係として述べられている。 Complex \(K\)-theory と rational cohomology の場合が,
Hirzebruch-Riemann-Roch [Hir95] である。 やはり一般コホモロジー論に関するものであるが, 現代的な視点で書かれた解説として,
Coloma と Fiorenza と Landi による [CFL22] がある。
もちろん, 元々は代数曲線に関する公式に付けられた名前であり, Grothendieck が \(K\)-theory
を使って一般化したものが現在よく知られている形である。というよりも, Riemann-Roch の定理を定式化するために \(K\)-theory
が考えられたわけであるが。
その後, 様々な一般化や変種が考えられている。
References
-
[Ada72]
-
John Frank Adams. Algebraic topology—a student’s guide. London
Mathematical Society Lecture Note Series, No. 4. Cambridge
University Press, London-New York, 1972, pp. vi+300.
-
[BFM75]
-
Paul Baum, William Fulton, and Robert MacPherson.
“Riemann-Roch for singular varieties”. In: Inst. Hautes Études Sci.
Publ. Math. 45 (1975), pp. 101–145.
-
[BS09]
-
Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Smooth \(K\)-theory”. In: Astérisque
328 (2009), 45–135 (2010). arXiv: 0707.0046.
-
[CFL22]
-
Mattia
Coloma, Domenico Fiorenza, and Eugenio Landi. “An exposition of
the topological half of the Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch
theorem in the fancy language of spectra”.
In: Expo. Math. 40.2 (2022), pp. 357–394. arXiv: 1911.12035. url:
https://doi.org/10.1016/j.exmath.2021.11.003.
-
[CP23]
-
Jonathan A. Campbell and Kate Ponto. “Riemann-Roch theorems
in monoidal 2-categories”. In:
Q. J. Math. 74.3 (2023), pp. 1119–1163. arXiv: 2203.04351. url:
https://doi.org/10.1093/qmath/haad003.
-
[EG00]
-
Dan Edidin and William Graham. “Riemann-Roch for equivariant
Chow groups”. In: Duke Math. J. 102.3 (2000), pp. 567–594. arXiv:
math/9905081. url:
https://doi.org/10.1215/S0012-7094-00-10239-6.
-
[Hir95]
-
Friedrich Hirzebruch. “A Riemann-Roch theorem for differentiable
manifolds”. In: Séminaire Bourbaki, Vol. 5. Paris: Soc. Math.
France, 1995, Exp. No. 177, 129–149.
-
[Ho14]
-
Man-Ho Ho. “A condensed proof
of the differential Grothendieck-Riemann-Roch theorem”. In: Proc.
Amer. Math. Soc. 142.6 (2014), pp. 1973–1982. arXiv: 1111.5546.
url: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-11948-4.
-
[Hoy+21]
-
Marc Hoyois, Pavel Safronov, Sarah Scherotzke, and Nicolò
Sibilla. “The categorified Grothendieck-Riemann-Roch theorem”. In:
Compos. Math. 157.1 (2021), pp. 154–214. arXiv: 1804.00879. url:
https://doi.org/10.1112/s0010437x20007642.
-
[Kaw79]
-
Tetsuro Kawasaki. “The Riemann-Roch theorem for complex
\(V\)-manifolds”. In: Osaka J. Math. 16.1 (1979), pp. 151–159. url:
http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1200771835.
-
[LS]
-
Parker Lowrey and Timo Schürg. Grothendieck-Riemann-Roch for
derived schemes. arXiv: 1208.6325.
-
[Mat]
-
Keiho Matsumoto. Derived invariants and motives, Part I, Integral
Grothendieck Riemann-Roch and non-commutative motives. arXiv:
2206.04825.
-
[Nav18]
-
A. Navarro. “Riemann-Roch for homotopy invariant \(K\)-theory and
Gysin morphisms”. In: Adv. Math. 328 (2018), pp. 501–554. arXiv:
1605.00980. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.01.001.
-
[NN21]
-
A. Navarro and J. Navarro. “On the Riemann-Roch formula without
projective hypotheses”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 374.2 (2021),
pp. 755–772. arXiv: 1705.10769. url:
https://doi.org/10.1090/tran/8107.
-
[Pap07]
-
Georgios Pappas. “Integral Grothendieck-Riemann-Roch theorem”.
In: Invent. Math. 170.3 (2007), pp. 455–481. arXiv: math/0703305.
url: https://doi.org/10.1007/s00222-007-0067-9.
-
[Ran19]
-
Hugues Randriambololona. “Harder-Narasimhan theory for linear
codes (with an appendix on Riemann-Roch theory)”. In: J. Pure
Appl. Algebra 223.7 (2019), pp. 2997–3030. arXiv: 1609.00738. url:
https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2018.10.006.
-
[Toe99]
-
B. Toen. “Théorèmes de Riemann-Roch pour les champs de
Deligne-Mumford”.
In: \(K\)-Theory 18.1 (1999), pp. 33–76. arXiv: math/9803076. url:
http://dx.doi.org/10.1023/A:1007791200714.
|
