Monoidal Bicategories and Related Structures

Monoidal structure を持つ bicategory を monoidal bicategory と呼ぶ。と, 言ってしまうのは簡単であるが, その正確な定義を述べるのは, かなり手間である。

まず monoidal category や bicategory の定義自体に coherence が必要になるが, 更にそれらの間の coherence が必要になるからである。

ちょっと狡いが, 簡潔なのは tricategory の特別な場合として定義することである。Monoid が object 1つの category, monoidal category が object 1つの bicategory であることを知っていると, 次の “定義” には納得できる, だろう。

• monoidal bicategory は object が1つの tricategory

Gorndon, Power, Street の [GPS95] で tricategory の正確な定義が述べられているので, その特別な場合として monoidal bicategory が定義されるわけである。Day と Street の [DS97] でも, これが定義として用いられている。

それを具体的な条件に直すのは, かなりの手間であるが, Stay の [Sta16] に, それが書いてあるので助かる。彼の目的は compact closed bicategory を調べることであるが, §4 に bicategory の定義から詳しく書かれている。

任意の tricategory は Gray-category と tricategory として同値になることが分かっているので, monoidal bicategory の strict 版として Gray-monoid を用いることができる。

• Gray-monoid
• 任意の monoidal bicategory は Gray-monoid と同値

Gray-monoid の定義は, Day と Street の [DS97] にある。

当然, braided 版や symmetric 版も考えたくなる。 面白いことに, monoidal bicategory では, もう一種類, braided monoidal bicategory と symmetric monoidal bicategory の間に, sylleptic monoidal bicategory という構造がある。

• braided monoidal bicategory
• sylleptic monoidal bicategory
• symmetric monoidal bicategory

Crans の [Cra00b; Cra00a] や Gurski [Gur11] によると, Kapranov と Voevodskyによる braided monoidal bicategory の定義 [KV94] には, 不正確な点や不完全なところがあったが, 後に Baez と Neuchl [BN96] や Crans [Cra98] により修正されている。 また, Day と Street によるもの [DS97] もある。

Symmetric monoidal bicategory については, Gurski と Osorno の [GO13] を見るのが良いと思う。

また, この3種類のものについても, Stay の [Sta16] に詳しい定義が書かれている。

Monoidal category があると, それで enrich された category が定義できるが, monoidal bicategory からも enriched bicategory が定義できる。Hoffnung の [Hof] など。

• monoidal bicategory により enrich された bicategory

Bicategory の例として, bi(co)module や (co)span を \(1\)-moprhism とするものと, 写像を \(1\)-morphism とするものの2種類が一般的であるが, Shulman [Shu08] によると, これら\(2\)種類の bicategory の内 bimodule 的なものを \(1\)-morphism とするものは扱いづらいようである。例えば, monoidal structure を定義するときには, coherence を表わす方法が必要であるが, bimodule 的なものを \(1\)-morphism とすると, それが難しい。そこで Shulman は, bimodule 的なものを \(1\)-morphism とす る bicategory でも, object の間の morphisms を持つ framed bicategory という概念を導入している。そのような \(2\) 種類の morphism を持つものを考える際には, double category の構造が有用なようである。

• double category
• framed bicategory

References

[BN96]

John C. Baez and Martin Neuchl. “Higher-dimensional algebra. I. Braided monoidal \(2\)-categories”. In: Adv. Math. 121.2 (1996), pp. 196–244. arXiv: q-alg/9511013. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1996.0052.

[Cra00a]

S. Crans. “Erratum: “On braidings, syllapses and symmetries””. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 41.2 (2000), p. 156.

[Cra00b]

Sjoed Crans. “On braidings, syllapses and symmetries”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 41.1 (2000), pp. 2–74.

[Cra98]

Sjoerd E. Crans. “Generalized centers of braided and sylleptic monoidal \(2\)-categories”. In: Adv. Math. 136.2 (1998), pp. 183–223. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1720.

[DS97]

Brian Day and Ross Street. “Monoidal bicategories and Hopf algebroids”. In: Adv. Math. 129.1 (1997), pp. 99–157. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1649.

[GO13]

Nick Gurski and Angélica M. Osorno. “Infinite loop spaces, and coherence for symmetric monoidal bicategories”. In: Adv. Math. 246 (2013), pp. 1–32. arXiv: 1210.1174. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.06.028.

[GPS95]

R. Gordon, A. J. Power, and Ross Street. “Coherence for tricategories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 117.558 (1995), pp. vi+81. url: https://doi.org/10.1090/memo/0558.

[Gur11]

Nick Gurski. “Loop spaces, and coherence for monoidal and braided monoidal bicategories”. In: Adv. Math. 226.5 (2011), pp. 4225–4265. arXiv: 1102 . 0981. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.12.007.

[Hof]

Alexander E. Hoffnung. The Hecke Bicategory. arXiv: 1007.1931.

[KV94]

M. Kapranov and V. Voevodsky. “Braided monoidal \(2\)-categories and Manin-Schechtman higher braid groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 92.3 (1994), pp. 241–267. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)90097-3.

[Shu08]

Michael Shulman. “Framed bicategories and monoidal fibrations”. In: Theory Appl. Categ. 20 (2008), No. 18, 650–738. arXiv: 0706.1286.

[Sta16]

Michael Stay. “Compact closed bicategories”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 26, 755–798. arXiv: 1301.1053.