Double Categories and Multiple Categories

Double category は, Ehresmann [Ehr63a; Ehr63b; Ehr65] により導入された。 \(2\)-category とは別の category の概念の高次化である。 最も簡単な理解として, category の category の “category object” と考えるのが一つの手である。詳しくは, Morton の [Mor09] を読むとよい。

より具体的な記述としては, object と horizontal morphism と vertical morphism と \(2\)-morphism からなる構造と考えればよい。\(2\)種類の \(1\)-morphism があるので, nerve を構成すると bisimplicial set が得られる。

• small double category の nerve

例えば, Fiedorowicz と Loday の [FL91] で, crossed simplicial group を考えるために用いられている。

• crossed simplicial group は double category とみなすことができる。

Double category に対して, limit や adjoint を考えているのは, Grandis と Pare [GP99; GP04] である。彼らは, その後も Kan extension など [GP08; GP07] について調べている。

Double category の category の model structure には, Moser らの [MSV22; MSV23] で構成されたものがある。

Fibration としては, Lambert [Lam21] の discrete double fibration や, その一般化の double fibration [Cru+22] がある。

• fibration of double categories

Double category の monoidal 版も定義できる。Hansen と Shulman の [HS] を見るとよい。

• monoidal double category
• braided monoidal double category
• symmetric monoidal double category

Cartesian closed 版は, Niefield の [Nie24] で考えられている。

• Cartesian closed double category

Street の formal theory of monad は, 一般の bicategory での monad や comonad の理論であるが, double category についても Fiore と Gambino と Kock [FGK11] が考えている。

新しい例としては, 3次元多様体の研究に現われるものがある。 Douglas と Lipshitz と Manolescu の [DLM19] で使われている “2-algebra” である。 Chain complex の category で enrich されたもの, つまり dg double category であるが。

更に “category object” を取るという操作を繰り返すと, \(n\)-fold category という構造を得る。やはり Ehresmann [Ehr67] により最初に考えられたようである。Grandis は, 様々な \(n\) についての \(n\)-fold category をまとめて multiple category と呼んでいる。 \(n\) を指定しなくてもよいので, まとめて呼ぶときにはこの方が良いと思う。 Grandis は本 [Gra20] を書いている。

• \(n\)-fold category and multiple category

Fiore と Paoli は, [FP10] で \(n\)-fold category の category に model structure を定義している。

彼らは, その nerve や Grothendieck construction についても考えている。

一般化や変種も色々定義されている。

• weakly globular \(n\)-fold category [Paob]
• multiple \((\infty ,n)\)-category [Kac]
• weakly globular Tamsamani \(n\)-category [Paoc]
• homotopically discrete \(n\)-fold category [Paoa]
• pseudo \(n\)-fold category [FV]

References

[Cru+22]

G. S. H. Cruttwell, M. J. Lambert, D. A. Pronk, and M. Szyld. “Double fibrations”. In: Theory Appl. Categ. 38 (2022), Paper No. 35, 1326–1394. arXiv: 2205.15240.

[DLM19]

Christopher L. Douglas, Robert Lipshitz, and Ciprian Manolescu. “Cornered Heegaard Floer homology”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 262.1266 (2019), pp. v+124. arXiv: 1309.0155. url: https://doi.org/10.1090/memo/1266.

[Ehr63a]

Charles Ehresmann. “Catégories doubles et catégories structurées”. In: C. R. Acad. Sci. Paris 256 (1963), pp. 1198–1201.

[Ehr63b]

Charles Ehresmann. “Catégories structurées”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (3) 80.4 (1963), pp. 349–426. url: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1963_3_80_4_349_0.

[Ehr65]

Charles Ehresmann. Catégories et structures. Paris: Dunod, 1965, pp. xvii+358.

[Ehr67]

Charles Ehresmann. “Problèmes universels relatifs aux catégories \(n\)-aires”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 264 (1967), A273–A276.

[FGK11]

Thomas M. Fiore, Nicola Gambino, and Joachim Kock. “Monads in double categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.6 (2011), pp. 1174–1197. arXiv: 1006.0797. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.08.003.

[FL91]

Zbigniew Fiedorowicz and Jean-Louis Loday. “Crossed simplicial groups and their associated homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 326.1 (1991), pp. 57–87. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001855.

[FP10]

Thomas M. Fiore and Simona Paoli. “A Thomason model structure on the category of small \(n\)-fold categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.4 (2010), pp. 1933–2008. arXiv: 0808.4108. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.1933.

[FV]

Mark Feshbach and Alexander A. Voronov. A higher category of cobordisms and topological quantum field theory. arXiv: 1108.3349.

[GP04]

Marco Grandis and Robert Pare. “Adjoint for double categories. Addenda to: “Limits in double categories” [Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 40 (1999), no. 3, 162–220; MR1716779]”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 45.3 (2004), pp. 193–240.

[GP07]

Mario Grandis and Robert Pare. “Lax Kan extensions for double categories (on weak double categories. IV)”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 48.3 (2007), pp. 163–199.

[GP08]

Marco Grandis and Robert Paré. “Kan extensions in double categories (on weak double categories. III)”. In: Theory Appl. Categ. 20 (2008), No. 8, 152–185.

[GP99]

Marco Grandis and Robert Pare. “Limits in double categories”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 40.3 (1999), pp. 162–220.

[Gra20]

Marco Grandis. Higher dimensional categories. From double to multiple categories. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2020, pp. xi+522. isbn: 978-981-120-510-1.

[HS]

Linde Wester Hansen and Michael Shulman. Constructing symmetric monoidal bicategories functorially. arXiv: 1910.09240.

[Kac]

Camell Kachour. Notes on Multiple Higher Category Theory. arXiv: 1702.05206.

[Lam21]

Michael Lambert. “Discrete double fibrations”. In: Theory Appl. Categ. 37 (2021), pp. 671–708. arXiv: 2101.06734.

[Mor09]

Jeffrey C. Morton. “Double bicategories and double cospans”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 389–428. arXiv: math/0611930.

[MSV22]

Lyne Moser, Maru Sarazola, and Paula Verdugo. “A 2Cat-inspired model structure for double categories”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 63.2 (2022), pp. 184–236. arXiv: 2004.14233.

[MSV23]

Lyne Moser, Maru Sarazola, and Paula Verdugo. “A model structure for weakly horizontally invariant double categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 23.4 (2023), pp. 1725–1786. arXiv: 2007.00588. url: https://doi.org/10.2140/agt.2023.23.1725.

[Nie24]

Susan Niefield. “Cartesian closed double categories”. In: Theory Appl. Categ. 40 (2024), Paper No. 3, 63–79.

[Paoa]

Simona Paoli. Homotopically discrete higher categorical structures. arXiv: 1605.05112.

[Paob]

Simona Paoli. Pseudo-functors modelling higher structures. arXiv: 1605.06835.

[Paoc]

Simona Paoli. Weakly globular Tamsamani \(N\)-categories and their rigidification. arXiv: 1607.04870.