Bisimplicial Objects

Simplicial set の category の simplicial object を bisimplicial set という。Simplicial set の直積を考えるときには当然考えないといけないものである。また, double category の nerve を考えるときにも必要になる。

定義は簡単で, category \(\bm {C}\) での bisimplicial object とは, functor

のことである。

基本的なことは, 例えば Bousfield と Friedlander の [BF78] の Appendix B にまとめられている。 Waldhausen の [Wal78] の §II.5 にも有用な事実が書かれている。

2重の simplicial structure を持つので, geometric realization を2回とることで, CW complex にすることができる。あるいは, diagonal をとり, simplicial set にするという手もある。更に, Artin と Mazur [AM66] の §III で定義されている totalization という操作で simplicial set にするという手もある。Artin と Mazur が言っているように, \(d(X)\) と \(T(X)\) はより一般の bisimplicial object に対しても適用できる操作である。

• bisimplicial set \(X\) の diagonal \(d(X)\)
• Artin-Mazur の totalization \(T(X)\)

Diagonal の geometric realization \(|d(X)|\) と \(X\) の bisimplicial set としての geometric realization は weak equivalent である。これについては Fiedorowicz と Loday [FL91] は, Quillen の [Qui73] を参照している。

Stevenson [Ste12] によると, Artin-Mazur の totalization \(T(X)\) と diagonal \(d(X)\) が weak equivalent であることは, Cegarra と Remedios [CR05] によりつい最近証明されたようである。 Joyal と Tierney の執筆中の本にも独立の証明があるらしい。Stevenson 自身, より elementary な証明を発見している。

Bisimplicial set の ホモトピー群 (モノイド)としては, Hu が [Hu] で定義しているものもある。 複素多様体の Bott-Chern cohomology [BC65] と Aeppli cohomology [Aep62] に対応して Stelzig [Ste25] により導入された rational commutative bigraded bidifferential algebra の cohomotopy 群の integral version を与えるものである。

• Bott-Chern homotopy set
• Aeppli homotopy set

Bisimplicial object の一般化としては, functor

として定義される \(n\)-fold simplicial object がある。

• \(n\)-fold simplicial object

Double category の nerve を定義するときに自然に bisimplicial set が現れるように, \(n\)-fold category の nerve を定義するときには \(n\)-fold simplicial set を使うのが自然である。

他にも Waldhausen category の \(S\)-construction でも登場する。

Petrić [Pet15] は, Segal condition を考えている。

関連したものとして prismatic set (object) がある。

• prismatic set

References

[Aep62]

Alfred Aeppli. “Some exact sequences in cohomology theory for Kähler manifolds”. In: Pacific J. Math. 12 (1962), pp. 791–799. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103036296.

[AM66]

M. Artin and B. Mazur. “On the van Kampen theorem”. In: Topology 5 (1966), pp. 179–189. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(66)90018-8.

[BC65]

Raoul Bott and S. S. Chern. “Hermitian vector bundles and the equidistribution of the zeroes of their holomorphic sections”. In: Acta Math. 114 (1965), pp. 71–112. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02391818.

[BF78]

A. K. Bousfield and E. M. Friedlander. “Homotopy theory of \(\Gamma \)-spaces, spectra, and bisimplicial sets”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II. Vol. 658. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1978, pp. 80–130.

[CR05]

A. M. Cegarra and Josué Remedios. “The relationship between the diagonal and the bar constructions on a bisimplicial set”. In: Topology Appl. 153.1 (2005), pp. 21–51. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2004.12.003.

[FL91]

Zbigniew Fiedorowicz and Jean-Louis Loday. “Crossed simplicial groups and their associated homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 326.1 (1991), pp. 57–87. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001855.

[Hu]

Jiahao Hu. Bott-Chern and Aeppli homotopy. arXiv: 2606.13224.

[Pet15]

Zoran Petrić. “Segal’s multisimplicial spaces”. In: Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.) 97(111) (2015), pp. 11–21. arXiv: 1407.3914. url: https://doi.org/10.2298/PIM141125001P.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147.

[Ste12]

Danny Stevenson. “Décalage and Kan’s simplicial loop group functor”. In: Theory Appl. Categ. 26 (2012), No. 28, 768–787. arXiv: 1112.0474.

[Ste25]

Jonas Stelzig. “Pluripotential homotopy theory”. In: Adv. Math. 460 (2025), Paper No. 110038, 61. arXiv: 2302.08919. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2024.110038.

[Wal78]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of generalized free products. I, II”. In: Ann. of Math. (2) 108.1 (1978), pp. 135–204.