層のコホモロジー

層といえばコホモロジーだろう。Iversen も “Cohomology of Sheaves” という本 [Ive86] を書いている。 1940年代に Leray により導入されたものである。

位相空間上の層のコホモロジーについては, この Iversen の本の他に, Godement の [God73] や Bredon の [Bre97] がある。 Iversen の本は, ホモロジー代数に慣れていないと読み辛いので, まずは Bredon の本を見るのが良いと思う。 最近のものとしては, Loring Tu の lecture notes [Tu] が arXiv から入手できる。

多様体上の層のコホモロジーについては, Kashiwara と Schapira の本 [KS94] もある。

トポロジーの視点からは, とりあえず位相空間上の Abel群の層のコホモロジーを知っているべきだろう。

• Abel群の層のコホモロジーの定義

具体例として, 位相空間の Čech cohomology は重要な例である。 幾何学的なデータが Čech cocycle として表わされたりする。例えば, 主\(G\)束の座標変換とか gerbe を構成するデータなど。また, ホモトピー論的な fibration でも, numerable な被覆を持つ場合には, cocycle を考えることができる。一度は Čech cohomology の構成を勉強しておいて損はないだろう。

• Čech cohomology

多様体では, まず de Rham cohomology を層のコホモロジーとして表わすことを知っておくべきだろう。

• 層のコホモロジーとしての de Rham cohomology

Coarse space 上の層のコホモロジーは, Hartmann [Har20; Har] により考えられている。

• coarse sheaf cohomology

代数幾何学では, étale cohomology など, 様々なコホモロジーが層のコホモロジーとして定義されている。 それらの性質を記述する枠組みとして, Grothendieck の six functor formalism がある。Grothendieck 以降, 様々な方向に一般化されている。

• six functor formalism

一般的な解説としては, やはり Kashiwara と Schapira の [KS94] をまず読むのが良いと思う。 最近のものでは, Gallauer の [Gal] や Scholze の lecture notes [Sch] などがある。

Scholze の lecture notes のように, 最近では \((\infty ,1)\)-category の言葉を使うことがトレンドのようである。

Gaitsgory と Rozenblyum の本 [GR17] でも Part II で bivariant theory や six functor formalism のための \((\infty ,2)\)-category の枠組みが構築されている。

References

[Bre97]

Glen E. Bredon. Sheaf theory. Second. Vol. 170. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1997, pp. xii+502. isbn: 0-387-94905-4. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0647-7.

[Gal]

Martin Gallauer. An introduction to six-functor formalisms. arXiv: 2112.10456.

[God73]

Roger Godement. Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Troisième édition revue et corrigée, Publications de l’Institut de Mathématique de l’Université de Strasbourg, XIII, Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 1252. Paris: Hermann, 1973, pp. viii+283.

[GR17]

Dennis Gaitsgory and Nick Rozenblyum. A study in derived algebraic geometry. Vol. I. Correspondences and duality. Vol. 221. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2017, xl+533pp. isbn: 978-1-4704-3569-1. url: https://doi.org/10.1090/surv/221.1.

[Har]

Elisa Hartmann. Coarse sheaf cohomology. arXiv: 2205.01635.

[Har20]

Elisa Hartmann. “Coarse cohomology with twisted coefficients”. In: Math. Slovaca 70.6 (2020), pp. 1413–1444. arXiv: 1710.06725. url: https://doi.org/10.1515/ms-2017-0440.

[Ive86]

Birger Iversen. Cohomology of sheaves. Universitext. Berlin: Springer-Verlag, 1986, pp. xii+464. isbn: 3-540-16389-1. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-82783-9.

[KS94]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Sheaves on manifolds. Vol. 292. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. With a chapter in French by Christian Houzel, Corrected reprint of the 1990 original. Berlin: Springer-Verlag, 1994, pp. x+512. isbn: 3-540-51861-4.

[Sch]

Peter Scholze. Six-Functor Formalisms. url: https://people.mpim-bonn.mpg.de/scholze/SixFunctors.pdf.

[Tu]

Loring W. Tu. Introduction to Sheaf Cohomology. arXiv: 2206.07512.