多様体の様々な(コ)ホモロジー

多様体の(コ)ホモロジーとして, やはりまずは de Rham 理論を知っておくべきだろう。

• 微分形式によるde Rham コホモロジーの定義
• Current による de Rham ホモロジーの定義
• 層のコホモロジーによる de Rham コホモロジーの定義

de Rham コホモロジーについては, Bott と Tu の本 [BT82] がある。 入門としては, Madsen と Thornhave [MT97] の本もよい。

これらは, 基本的に多様体上の椄束 (余椄束) の言葉で定義されるものである。より一般に, ベクトル束の不変量として, 特性類と呼ばれるコホモロジー類を考えることも重要である。

• Deligne cohomology

コホモロジーについてはこのように微分形式を用いた表示が有用であるが, 多様体のホモロジーについては singular homology を用いるのが普通だった。 もちろん, de Rham の current を用いたものもあるが。最近, singular homology よりも幾何学的な構成が, いくつかの発見されている。

• Pseudocycle による多様体の整係数ホモロジーの定義。(Zinger の [Zin08])
• Castillo と Diaz の manifold with corners を用いた chain complex による構成 [CD]

Castillo と Diaz のものは, 多様体のホモロジーの intersection pairing を考えるために導入された。 String topology や彼らが導入した概念である homological quantum field theory への応用がある。

Topological field theory に関係したものとしては, factorization homology もある。

• factorization homology

Symplectic多様体には, Floer homology やその変種, contact多様体には embedded contact homology などが定義される。

• Floer homology

Projective variety に対しては, algebraic cycle の空間を用いて定義する Lawson homology がある。

• Lawson homology とその変種

新しいものとしては, vertex algebra に値を持つ cohomology がある。

• chiral de Rham complex

Lie群の作用があるときには, equivariant de Rham theory ができる。

更に, Lian と Linshaw の [LL07] では, equivariant chiral de Rham theory が展開されている。その続編が [LLS08] である。

• equivariant de Rham complex
• equivariant chiral de Rham complex

Kähler 多様体には, quantum cohomology というものが定義される。 Givental と Kim [GK95] によると, [Vaf92] で Vafa により導入されたらしい。通常の de Rham cohomology の積をちょっと deform したものである。

• quamtum cohomology

Fuchs らは, 直積多様体 \(M_1\times M_2\) の部分多様体を考えるために, [FSW08] で birelative homology という relative homology の一般化を考えている。コホモロジーは微分形式を用いて解釈できるようである。

Gromov が [Gro96] で導入した \(K\)-area を用いたホモロジーが, Listing の [Lis] で考えられている。

これらの (co)homology を, 特異点を持つ多様体に一般化しようという試みは色々あるし, また他にも幾何学的構造を用いて定義された (co)homology はある。

• 幾何学的に定義された各種 (co)homology

References

[BT82]

Raoul Bott and Loring W. Tu. Differential forms in algebraic topology. Vol. 82. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1982, pp. xiv+331. isbn: 0-387-90613-4.

[CD]

Edmundo Castillo and Rafael Diaz. Homology and manifolds with corners. arXiv: math/0611839.

[FSW08]

Jürgen Fuchs, Christoph Schweigert, and Konrad Waldorf. “Bi-branes: target space geometry for world sheet topological defects”. In: J. Geom. Phys. 58.5 (2008), pp. 576–598. arXiv: hep-th/0703145. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.geomphys.2007.12.009.

[GK95]

Alexander Givental and Bumsig Kim. “Quantum cohomology of flag manifolds and Toda lattices”. In: Comm. Math. Phys. 168.3 (1995), pp. 609–641. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104272492.

[Gro96]

M. Gromov. “Positive curvature, macroscopic dimension, spectral gaps and higher signatures”. In: Functional analysis on the eve of the 21st century, Vol. II (New Brunswick, NJ, 1993). Vol. 132. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1996, pp. 1–213.

[Lis]

Mario Listing. Homology of finite K-area. arXiv: 1007.3166.

[LL07]

Bong H. Lian and Andrew R. Linshaw. “Chiral equivariant cohomology. I”. In: Adv. Math. 209.1 (2007), pp. 99–161. arXiv: math/0501084. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.04.008.

[LLS08]

Bong H. Lian, Andrew R. Linshaw, and Bailin Song. “Chiral equivariant cohomology. II”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.9 (2008), pp. 4739–4776. arXiv: math/0607223. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04504-2.

[MT97]

Ib Madsen and Jørgen Tornehave. From calculus to cohomology. de Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, pp. viii+286. isbn: 0-521-58059-5; 0-521-58956-8.

[Vaf92]

Cumrun Vafa. “Topological mirrors and quantum rings”. In: Essays on mirror manifolds. Int. Press, Hong Kong, 1992, pp. 96–119. arXiv: hep-th/9111017.

[Zin08]

Aleksey Zinger. “Pseudocycles and integral homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.5 (2008), pp. 2741–2765. arXiv: math/0605535. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04440-6.