Lawson homology とその変種

Lawson homology は, Blaine Lawson により [Law89] で導入された。 その後, Friedlander などにより詳しく調べられている。 無限対称積を “\(0\)次元subspace” の成す空間と見なすと, そのホモトピー群が整係数ホモロジー群と同型になるという Dold-Thom の定理を高次元に一般化したくなる。 complex projective variety については, algebraic cycle の成す空間を構成できるので, そのホモトピー群として新しいホモロジー群が定義できる。それが Lawson homology のアイデアである。

• Lawson homology (morphic homology)
• morphic cohomology [FL92]
• Lawson homology と morphic cohomology の Chow motif の圏への拡張 [HL11]
• real projective variety に対する Lawson homology [Teh10]

Lawson homology の \(K\)理論版として, Friedlander と Walker [FW02b; FW02a] により導入された semi-topological \(K\)-theory というものもある。

• semi-topological \(K\)-theory

具体的には, projective space の real algebraic cycle の成す空間 [LLM03] や quaternionic cycle の成す空間 [LLM05] などが調べられている。

\(K\)-theory と ordinary homology があれば, cobordism もありそうな気がするが, それについては Jeremiah Heller が thesis [Hel06] で考えているようである。

Wenchuan Hu は, [Hu11] で Lawson homology による birational invariant を定義し, また blow-up に関する Lawson homology の公式を得ている。 その blow-up の公式は, [HL09] で configuration space の Fulton-MacPherson compactification の Lawson homology を決定するのに用いられている。

Teh [Teh12] は, 位相空間で parametrize された scheme を semi-topological scheme と呼び, そこに Lawson homology や morphic cohomology を拡張している。\(K\)-theory も定義されている。また [Teh13]では measure theory 的な枠組 みを考えている。

Lawson homology の定義を最初に見たときは, 代数幾何学とホモトピー論がまだうまく融合していないように感じたが, この Teh の semi-topological algebraic geometry あるいは almost algebraic geometry が正しい枠組みなのだろうか。

一方, motivic homotopy theory の枠組みで扱おうという試みもある。Jeremiah Heller [Hel15] は, motivic symmetric spectra によりこの種のコホモロジー論が表現できることを示している。

References

[FL92]

Eric M. Friedlander and H. Blaine Lawson Jr. “A theory of algebraic cocycles”. In: Ann. of Math. (2) 136.2 (1992), pp. 361–428. arXiv: math/9204230. url: http://dx.doi.org/10.2307/2946609.

[FW02a]

Eric M. Friedlander and Mark E. Walker. “Semi-topological \(K\)-theory of real varieties”. In: Algebra, arithmetic and geometry, Part I, II (Mumbai, 2000). Vol. 16. Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math. Bombay: Tata Inst. Fund. Res., 2002, pp. 219–326.

[FW02b]

Eric M. Friedlander and Mark E. Walker. “Semi-topological \(K\)-theory using function complexes”. In: Topology 41.3 (2002), pp. 591–644. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(01)00023-4.

[Hel06]

Jeremiah Ben Heller. Semi-topological cobordism for complex varieties. Thesis (Ph.D.)–Northwestern University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2006, p. 75. isbn: 978-0542-62200-7.

[Hel15]

Jeremiah Heller. “Motivic strict ring spectra representing semi-topological cohomology theories”. In: Homology Homotopy Appl. 17.2 (2015), pp. 107–135. arXiv: 1304.6288. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2015.v17.n2.a7.

[HL09]

Wenchuan Hu and Li Li. “The Lawson homology for Fulton-MacPherson configuration spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.1 (2009), pp. 455–471. arXiv: math/0609824. url: https://doi.org/10.2140/agt.2009.9.455.

[HL11]

Wenchuan Hu and Li Li. “Lawson homology, morphic cohomology and Chow motives”. In: Math. Nachr. 284.8-9 (2011), pp. 1024–1047. arXiv: 0711.0383. url: https://doi.org/10.1002/mana.200810283.

[Hu11]

Wenchuan Hu. “Birational invariants defined by Lawson homology”. In: Michigan Math. J. 60.2 (2011), pp. 331–354. arXiv: math/0511722. url: https://doi.org/10.1307/mmj/1310667980.

[Law89]

H. Blaine Lawson Jr. “Algebraic cycles and homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 129.2 (1989), pp. 253–291. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971448.

[LLM03]

H. Blaine Lawson, Paulo Lima-Filho, and Marie-Louise Michelsohn. “Algebraic cycles and the classical groups. I. Real cycles”. In: Topology 42.2 (2003), pp. 467–506. arXiv: math/9912154. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(02)00018-6.

[LLM05]

H. Blaine Lawson Jr., Paulo Lima-Filho, and Marie-Louise Michelsohn. “Algebraic cycles and the classical groups. II. Quaternionic cycles”. In: Geom. Topol. 9 (2005), pp. 1187–1220. arXiv: math/0507451. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.1187.

[Teh10]

Jyh-Haur Teh. “A homology and cohomology theory for real projective varieties”. In: Indiana Univ. Math. J. 59.1 (2010), pp. 327–384. arXiv: math/0508238. url: https://doi.org/10.1512/iumj.2010.59.3790.

[Teh12]

Jyh-Haur Teh. “Semi-topological cycle theory I”. In: Pacific J. Math. 259.1 (2012), pp. 195–208. arXiv: 1001.2355. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2012.259.195.

[Teh13]

Jyh-Haur Teh. “Families of algebraic varieties parametrized by topological spaces”. In: Comm. Algebra 41.5 (2013), pp. 1800–1824. arXiv: 1001.2371. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2011.651759.