Semi-topological K-theory やその変種

Friedlander と Walker は [FW02b; FW02a] で Lawson homology の \(K\)-theory 版として semi-topological \(K\)-theory を定義した。大雑把に言えば, algebraic \(K\)-theory と 位相空間の \(K\)-theory の中間 に位置するものである。 解説としては, Friedlander と Walker の [FW05] がある。

• 複素数体上の variety に対する semi-topological \(K\)-theory
• 実数体上の variety に対する semi-topological \(K\)-theory

変種も色々考えられている。代数多様体から少し広げて, 複素多様体に対し holomorphic \(K\)-theory を定義しているのは, Ralph Cohen と Lima-Filho [CL01] である。Walker [Wal02] による bivariant version や connective homology version もある。Teh [Teh12] による位相空間で parametrize された代数多様体への拡張もある。Heller と Hornbostel [HH13] は equivariant版を考えている。

• holomorphic \(K\)-theory
• bivariant semi-topological \(K\)-theory
• equivariant semi-topological \(K\)-theory

具体的な variety の semi-topological \(K\)-theory を調べた例としては, Voineagu の [Voi08; Voi11] などがある。

より一般的には, scheme の cohomology theory に対して, Friedlander と Walker [FW01] の semi-topologization の操作で得られるのが semi-topological cohomology theory のようである。

• semi-topologization

例えば, motivic homotopy theory での cohomology theory に対して, その semi-topologization が考えられるが, それについては Krishna と Park [KP15] が調べている。

同じ名前で Anthony Blanc が [Bla16; Bla] で dg category に対して定義したものあるのでややこしい。 Friedlander-Walker の semitopological \(K\)-theory とは別物である。

References

[Bla]

Anthony Blanc. Invariants topologiques des Espaces non commutatifs. arXiv: 1307.6430.

[Bla16]

Anthony Blanc. “Topological K-theory of complex noncommutative spaces”. In: Compos. Math. 152.3 (2016), pp. 489–555. arXiv: 1211.7360. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X15007617.

[CL01]

Ralph L. Cohen and Paulo Lima-Filho. “Holomorphic \(K\)-theory, algebraic co-cycles, and loop groups”. In: \(K\)-Theory 23.4 (2001), pp. 345–376. arXiv: math/9912153. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1011969420506.

[FW01]

Eric M. Friedlander and Mark E. Walker. “Comparing \(K\)-theories for complex varieties”. In: Amer. J. Math. 123.5 (2001), pp. 779–810. url: https://doi.org/10.1353/ajm.2001.0032.

[FW02a]

Eric M. Friedlander and Mark E. Walker. “Semi-topological \(K\)-theory of real varieties”. In: Algebra, arithmetic and geometry, Part I, II (Mumbai, 2000). Vol. 16. Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math. Bombay: Tata Inst. Fund. Res., 2002, pp. 219–326.

[FW02b]

Eric M. Friedlander and Mark E. Walker. “Semi-topological \(K\)-theory using function complexes”. In: Topology 41.3 (2002), pp. 591–644. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(01)00023-4.

[FW05]

Eric M. Friedlander and Mark E. Walker. “Semi-topological \(K\)-theory”. In: Handbook of \(K\)-theory. Vol. 1, 2. Berlin: Springer, 2005, pp. 877–924. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-27855-9_17.

[HH13]

Jeremiah Heller and Jens Hornbostel. “Equivariant semi-topological \(K\)-homology and a theorem of Thomason”. In: J. K-Theory 12.3 (2013), pp. 493–549. arXiv: 1206.0690. url: https://doi.org/10.1017/is013008028jkt239.

[KP15]

Amalendu Krishna and Jinhyun Park. “Semitopologization in motivic homotopy theory and applications”. In: Algebr. Geom. Topol. 15.2 (2015), pp. 823–861. arXiv: 1302.2218. url: https://doi.org/10.2140/agt.2015.15.823.

[Teh12]

Jyh-Haur Teh. “Semi-topological cycle theory I”. In: Pacific J. Math. 259.1 (2012), pp. 195–208. arXiv: 1001.2355. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2012.259.195.

[Voi08]

Mircea Voineagu. “Semi-topological \(K\)-theory for certain projective varieties”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.8 (2008), pp. 1960–1983. arXiv: math/0601008. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.01.004.

[Voi11]

Mircea Voineagu. “Cylindrical homomorphisms and Lawson homology”. In: J. K-Theory 8.1 (2011), pp. 135–168. arXiv: 0904.3374. url: https://doi.org/10.1017/is010004024jkt108.

[Wal02]

Mark E. Walker. “Semi-topological \(K\)-homology and Thomason’s theorem”. In: \(K\)-Theory 26.3 (2002), pp. 207–286. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1020649830539.