位相空間のK理論

位相空間の \(K\) 理論は, Grothendieck の代数幾何学におけるアイデアをトポロジーに移植することにより誕生した。 それを行なったのは, Atiyah と Hirzebruch [AH59; AH61] である。

Grothendieck による元のアイデアと \(K\) 理論の起源については, Dieudonné の本 [Die09] のPart 3 Chapter VII §3 が良くまとまっていて読み易いと思う。また, Atiyah の “\(K\)-theory Past and Present” [Ati01] には, 当事者によるその当時の回想がある。 Karoubi の [Kar10] も見るとよい。

「教科書」としては, Atiyah の本 [Ati67] や Karoubi の本 [Kar78] がある。最近書かれたものでは, Dugger の [Dug] がある。まだ未完成らしいが。 Atiyah の本は, 日本語訳もある。

Grothendieck の元々の motivation を知るためには, Riemann-Roch の定理を勉強するとよいかもしれない。 代数多様体や Riemann 面を良く知らない人には, Adams の Student’s Guide [Ada72] に含まれている Dyer による解説 (p. 189) がある。 積を持つ一般コホモロジーの間の自然変換と push-forward homomorphism の関係として Riemann-Roch の定理を述べてある。それを理解してから古典的な Riemann-Roch の定理を見てみるとよい。

より幾何学的 (物理学的?) な応用に対しては, Atiyah-Singer の指数定理との関係が重要な役割を果す。ただ, 最近は D-brane や topological phase のように, topological \(K\)-theory の元そのものが現れる場面もでてきた。Szabo [RSV09] らによると, 数学的には D-brane とは Baum-Douglas の \(K\)-homology の元そのもののようである。

• 位相空間の \(K\)理論の基本
• Adams作用素
• Adams 予想と \(\Ima J\) そして \(K\)理論に関する局所化
• \(K\) ホモロジー
• equivariant \(K\)-theory
• Atiyah-Singer の指数定理
• 位相空間の \(K\)理論の変種

References

[Ada72]

John Frank Adams. Algebraic topology—a student’s guide. London Mathematical Society Lecture Note Series, No. 4. Cambridge University Press, London-New York, 1972, pp. vi+300.

[AH59]

M. F. Atiyah and F. Hirzebruch. “Riemann-Roch theorems for differentiable manifolds”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 65 (1959), pp. 276–281. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1959-10344-X.

[AH61]

M. F. Atiyah and F. Hirzebruch. “Vector bundles and homogeneous spaces”. In: Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1961, pp. 7–38.

[Ati01]

Michael Atiyah. “\(K\)-theory past and present”. In: Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. Berlin: Berliner Math. Gesellschaft, 2001, pp. 411–417. arXiv: math/0012213.

[Ati67]

M. F. Atiyah. \(K\)-theory. Lecture notes by D. W. Anderson. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1967, p. v 166 xlix.

[Die09]

Jean Dieudonné. A history of algebraic and differential topology 1900–1960. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1989 edition [MR0995842]. Birkhäuser Boston, Ltd., Boston, MA, 2009, pp. xxii+648. isbn: 978-0-8176-4906-7. url: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4907-4.

[Dug]

Daniel Dugger. A geometric introduction to \(K\)-theory. url: https://pages.uoregon.edu/ddugger/kgeom_070622.pdf.

[Kar10]

Max Karoubi. “\(K\)-theory, an elementary introduction”. In: Cohomology of groups and algebraic \(K\)-theory. Vol. 12. Adv. Lect. Math. (ALM). Int. Press, Somerville, MA, 2010, pp. 197–215. arXiv: math/0602082.

[Kar78]

Max Karoubi. \(K\)-theory. An introduction, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 226. Berlin: Springer-Verlag, 1978, pp. xviii+308. isbn: 3-540-08090-2.

[RSV09]

Rui M. G. Reis, Richard J. Szabo, and Alessandro Valentino. “KO-homology and type I string theory”. In: Rev. Math. Phys. 21.9 (2009), pp. 1091–1143. arXiv: hep - th / 0610177. url: https://doi.org/10.1142/S0129055X09003839.