Kasparov category

\(C^*\)-algebra を object とし, \(KK\)-theory を morphism の集合とすると, Kasparov product を composition として, Abel群の category で enrich されたcategory ができる。これを Kasparov category と呼ぶ。Equivariant \(KK\)-theory を用いた version もある。

• equivariant Kasparav category

文献としては, まず Meyer と Nest の [MN06] を見るべきだろう。 Kasparov category が triangulated category の構造を持つことを示している。彼等によると, \(C^*\)-algebra の圏の triangulated category の構造が考えられたのは, Anders Thom の thesis が最初らしい。Meyer と Nest は, [MN09] で位相空間上の \(C^*\)-algebra に対しても類似のことが成り立つことを証明している。Arano と Kubota [AK18] は \(\sigma \)-\(C^*\)-algebra の場合も, triangulated category になることを示している。

• Kasparov category の triangulated category の構造

Meyer は, そのような ホモロジー代数的 ( ホモトピー代数的?) 視点から \(KK\)-theory を扱うのがよいと考えているようである。[Mey08a] という survey を書いている。 Meyer と Nest の [MN10] も見るとよい。2007年12月6日に数理研で聞いた B. Keller の話によると, derivator を用いた Tabuada による dg category の universal additve functor の構成は, この Meyer と Nest の仕事が一つの起源であるらしい。 Meyer 自身も \(KK\)理論の Kasparov category から triangulated category を調べるアイデアを得ている [Mey08b] ようである。

Dell’Ambrogio [Del11] は, Kasparov category の \(\bbC \) で生成された triangulated subcategory を bootstrap category と呼んでいる。 元々は universal coefficient theorem が成り立つような「良いsubcategory」 として Rosenberg と Schochet [RS87] により考えられたもののようである。

• bootstrap category

Dell’Ambrogio は, その localizing subcategory を調べているが, こうなるともうほとんど ホモロジー代数である。 Mahanta は, [Mah] で Kasparov category と dg category の category を関連づけることを考えている。

Kasparov category を triangulated category として扱うことは, noncommutative space 上の D-brane を考える際にも有効 [Bro+09; Bro+] らしい。

また, Kasparov category を, 更に spectrum の category で enrich された category, つまり spectral category に拡張することも考えられている。Mitchener の [Mita; Mitb] など。 モデル圏によるアプローチとしては, Joachim と Johnson の [JJ06]がある。 彼ら は, \(C^*\)-algebra を拡張したところで, そのホモトピー圏が Kasparov category (の拡張) になるものを構成している。つまり, Kasparov category の stable model category による enhancement を構成したということである。

安定ホモトピー論の枠組みとしては, stable \(\infty \)-category もあるが, Land と Nikolaus は [LN18] の §3 で homotopy category が Kasparov category になる symmetric monoidal stable \((\infty ,1)\)-category \(\mathrm {KK}_{\infty }\) を構成している。

このような安定ホモトピー論的枠組みについては, Bunke, Land, Penning の survey [BLP] がある。

Kontsevich は [Kon09] で Kasparov category を noncommutative stable homotopy theory と考えるとよいと言っているが, Mitchener や Joachim と Johnson の仕事はそれにうまく合っている。

このように, 作用素環論に ホモロジー代数や ホモトピー代数の概念や道具を導入するという流れは, どんどん大きくなってきているように思う。

References

[AK18]

Yuki Arano and Yosuke Kubota. “A categorical perspective on the Atiyah-Segal completion theorem in KK-theory”. In: J. Noncommut. Geom. 12.2 (2018), pp. 779–821. arXiv: 1508.06815. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/291.

[BLP]

Ulrich Bunke, Markus Land, and Ulrich Pennig. A survey on operator \(K\)-theory via homotopical algebra. arXiv: 2311.17191.

[Bro+]

J. Brodzki, V. Mathai, J. Rosenberg, and R. J. Szabo. D-branes, KK-theory and duality on noncommutative spaces. arXiv: 0709.2128.

[Bro+09]

Jacek Brodzki, Varghese Mathai, Jonathan Rosenberg, and Richard J. Szabo. “Non-commutative correspondences, duality and D-branes in bivariant \(K\)-theory”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 13.2 (2009), pp. 497–552. arXiv: 0708.2648. url: http://projecteuclid.org/euclid.atmp/1234881640.

[Del11]

Ivo Dell’Ambrogio. “Localizing subcategories in the bootstrap category of separable \(C^{*}\)-algebras”. In: J. K-Theory 8.3 (2011), pp. 493–505. arXiv: 1003.0183. url: https://doi.org/10.1017/is010008010jkt126.

[JJ06]

Michael Joachim and Mark W. Johnson. “Realizing Kasparov’s \(KK\)-theory groups as the homotopy classes of maps of a Quillen model category”. In: An alpine anthology of homotopy theory. Vol. 399. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 163–197. arXiv: 0705.1971. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/399/07518.

[Kon09]

Maxim Kontsevich. “Notes on motives in finite characteristic”. In: Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. II. Vol. 270. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2009, pp. 213–247. arXiv: math/0702206. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4747-6_7.

[LN18]

Markus Land and Thomas Nikolaus. “On the relation between \(K\)- and \(L\)-theory of \(C^*\)-algebras”. In: Math. Ann. 371.1-2 (2018), pp. 517–563. arXiv: 1608.02903. url: https://doi.org/10.1007/s00208-017-1617-0.

[Mah]

Snigdhayan Mahanta. Noncommutative correspondence categories, simplicial sets and pro \(C^*\)-algebras. arXiv: 0906.5400.

[Mey08a]

Ralf Meyer. “Categorical aspects of bivariant \(K\)-theory”. In: \(K\)-theory and noncommutative geometry. EMS Ser. Congr. Rep. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 1–39. arXiv: math/0702145. url: http://dx.doi.org/10.4171/060-1/1.

[Mey08b]

Ralf Meyer. “Homological algebra in bivariant \(K\)-theory and other triangulated categories. II”. In: Tbil. Math. J. 1 (2008), pp. 165–210. arXiv: 0801.1344.

[Mita]

Paul D. Mitchener. \(KK\)-theory spectra for \(C^\ast \)-categories and discrete groupoid \(C^\ast \)-algebras. arXiv: 0711.2152.

[Mitb]

Paul D. Mitchener. Algebraic \(K\)-theory Spectra and Factorisations of Analytic Assembly Maps. arXiv: 0711.2182.

[MN06]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “The Baum-Connes conjecture via localisation of categories”. In: Topology 45.2 (2006), pp. 209–259. arXiv: math/0312292. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.07.001.

[MN09]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “\(C^{*}\)-algebras over topological spaces: the bootstrap class”. In: Münster J. Math. 2 (2009), pp. 215–252. arXiv: 0712.1426.

[MN10]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “Homological algebra in bivariant \(K\)-theory and other triangulated categories. I”. In: Triangulated categories. Vol. 375. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010, pp. 236–289. arXiv: math/0702146.

[RS87]

Jonathan Rosenberg and Claude Schochet. “The Künneth theorem and the universal coefficient theorem for Kasparov’s generalized \(K\)-functor”. In: Duke Math. J. 55.2 (1987), pp. 431–474. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-87-05524-4.