抽象的なホモロジー代数

代数的トポロジーの初歩を勉強していくと, chain complex に慣れ親しむ過程で, 自然に環 \(R\) 上の module の圏のホモロジー代数が身に付くはずである。

• ホモロジー代数の基礎

そして, category と functor の言葉を身に付ければ, その後抽象的なホモロジー代数を理解するのはそれほど難しくないはずである。 Module の圏で行なったことは, 一般のAbel圏でもできる。

逆に言えば, Abel圏とはホモロジー代数を行なうために必要な性質を抽象化して定義されたものである。 現在では, triangulated category に関する基本的なことがらを理解することを目標に勉強した方が良いと思う。

• category と functor
• Abel圏でのホモロジー代数
• derived category
• triangulated category

これらを勉強するのには, どのような本を読むのが良いだろうか? ホモロジー代数の教科書は色々出版されているので, 色々試して, 自分に合うものを見付けるのが良いと思う。

有名な古典は Cartan と Eilenberg の [CE99] であるが, まだ勉強する価値はあると思う。 比較的新しいものとしては, Weibel の [Wei94] や Gel\('\)fand と Manin の [GM99; GM03] がある。

ホモロジー代数の目的は, もちろん, ホモロジーやコホモロジーを調べることであるが, その中でも直接的な関係があるのは, 群や環などの代数的構造のホモロジーやコホモジーである。 Hochschild homology や cyclic homology など。 最近では, ring spectrum やその上の module spectrum などへの拡張も重要である。

• 代数的構造の(コ)ホモロジー

ホモロジー代数は, 古くから様々な方向に一般化や拡張が考えられてきた。

例えば, 古典的なホモロジー代数では projective object や injective object による resolution を用いるが, より一般の object の class による resolution を用いることを Eilenber と Moore [EM65] が relative homological algebra と呼んで, 考えている。あまり良い名前とは思えないが, 既に定着してしまっている。

• relative homological algebra

古典的なホモロジー代数の研究対象は, Abel圏での differential graded object であるが, Stasheff らによりその概念が “up to homotopy” に拡張されている。特に, 数理物理で自然に現われる構造のようである。

• ホモトピー的構造を持った代数

古くから様々な試みがなされてきたのは, Abel圏ではない圏でのホモロジー代数である。

• 非可換ホモロジー代数

Abel圏の一般化や変種も必要になることがある。

• quasi-abelian category
• semi-abelian category

代数的 \(K\) 理論のためには exact category や Waldhausen category といった概念が必要になる。

• exact category
• Waldhausen category

ホモトピー論的な視点からは, ホモロジー代数はホモトピー代数の一部と言える。

• ホモトピー代数

様々な分野で使われている derived category や triangulated category も model category の言葉を用いると精密化できる。 例えば, triangulated category は色んな意味で不都合な点が多いので, derived category をとる前の dg category や spectral category などで考えることが行なわれるようになってきたが, それらを扱うためには model category の言葉が不可欠である。Ben-Zvi と Francis と Nadler の [BFN10] のように, Bondal と Kapranov [BK90] にならって, これらを enhanced triangulated category と呼ぶようになってきたようである。

• enhacned triangulated category

また, spectral category や stable \(\infty \)-category などの概念が登場し, triangulated category の二つの起源である stable homotopy theory と古典的なホモロジー代数が融合されるようになったのも興味深い流れである。

• homological algebra of ring spectra
• stable homotopy theory

Triangulategory や model category の family を考えると derivator という概念を得る。

• derivator

より古典的な視点からのホモロジー代数の一般化としては, Khovanov [Kho16] の Hopfological algebra がある。

• Hopfological algebra

References

[BFN10]

David Ben-Zvi, John Francis, and David Nadler. “Integral transforms and Drinfeld centers in derived algebraic geometry”. In: J. Amer. Math. Soc. 23.4 (2010), pp. 909–966. arXiv: 0805.0157. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00669-7.

[BK90]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”. In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.

[CE99]

Henri Cartan and Samuel Eilenberg. Homological algebra. Princeton Landmarks in Mathematics. With an appendix by David A. Buchsbaum, Reprint of the 1956 original. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1999, pp. xvi+390. isbn: 0-691-04991-2.

[EM65]

Samuel Eilenberg and J. C. Moore. “Foundations of relative homological algebra”. In: Mem. Amer. Math. Soc. No. 55 (1965), p. 39.

[GM03]

Sergei I. Gelfand and Yuri I. Manin. Methods of homological algebra. Second. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2003, pp. xx+372. isbn: 3-540-43583-2.

[GM99]

S. I. Gelfand and Yu. I. Manin. Homological algebra. Translated from the 1989 Russian original by the authors, Reprint of the original English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical Sciences [ıt Algebra, V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994; MR1309679 (95g:18007)]. Berlin: Springer-Verlag, 1999, pp. iv+222. isbn: 3-540-65378-3.

[Kho16]

Mikhail Khovanov. “Hopfological algebra and categorification at a root of unity: the first steps”. In: J. Knot Theory Ramifications 25.3 (2016), pp. 1640006, 26. arXiv: math/0509083. url: https://doi.org/10.1142/S021821651640006X.

[Wei94]

Charles A. Weibel. An introduction to homological algebra. Vol. 38. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1994, pp. xiv+450. isbn: 0-521-43500-5; 0-521-55987-1. url: https://doi.org/10.1017/CBO9781139644136.