Homological algebra of ring spectra

Hochschild homology や algebraic \(K\)-theory などの環の (co)homology の定義が, ring spectrum に一般化されている。 Algebraic \(K\)-theory の場合は, Rognes による解説 [Rog] がある。 ICM 2014 のためのもののようである。

• Waldhausen の algebraic \(K\)-theory
• \(S\)-algebra の algebraic \(K\)-theory [McC97; Dun97; HM97]
• topological cyclic homology
• topological Hochschild homology
• topological André-Quillen homology [Bas99]
• topological cyclic homology の素数巾位数巡回群による fixed point で与えられる homology [AG11]

これらはどれぐらい計算可能なのだろうか? 球面 spectrum の algebraic \(K\)-theory については Blumberg と Mandel の [BM19] で調べられている。

これらは, spectral category に対しても定義できる。Dundas と McCarthy の [DM96] など。また topological cyclic homology と topological Hochschild homology の中間の \(TR\) という構成もある。そして, algebraic \(K\)-theory に類似の localization sequence があることを, Blumberg と Mandell が [BM12] で示している。

Rognes らによると, algebraic \(K\)-theory functor と chromatic filtration には深い関係があるらしい。\(S\)-algebra の algebraic \(K\)-theory を取ると chromatic filtration が一つ上がるという予想である。

• Rognes の red-shift conjecture

Baker らの [BGR08] によると, topological André-Quillen homology の参考文献としては, [Bas99; BM02; BR04; BM05; Man03] などがある。

Lurie [Lur] は, topological André-Quillen homology を absolute cotangent complex と呼んでいる。Lurie の論文の目的は \(E_{\infty }\)-ring spectrum の圏での deformation theory であるが。

古典的なホモロジー代数は, Grothendieck により derived category や triangulated category の言葉で記述されていたが, ring spectrum 上のホモロジー代数では, それが model category や \((\infty ,1)\)-category といったものに置き換わる。

Derived category には, 扱う chain complex に条件をつけて, bounded derived category といったいくつかの種類が定義されているが, Greenlees とStevenson は, [GS20]で bounded derived category の類似を提案している。

References

[AG11]

Vigleik Angeltveit and Teena Gerhardt. “\(\mathrm {RO}(S^1)\)-graded TR-groups of \(\F _{p}\), \(\Z \) and \(\ell \)”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.6 (2011), pp. 1405–1419. arXiv: 0811.1313. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.09.002.

[Bas99]

M. Basterra. “André-Quillen cohomology of commutative \(S\)-algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 144.2 (1999), pp. 111–143. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(98)00051-6.

[BGR08]

Andrew Baker, Helen Gilmour, and Philipp Reinhard. “Topological André-Quillen homology for cellular commutative \(S\)-algebras”. In: Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. 78.1 (2008), pp. 27–50. arXiv: 0708. 2041. url: http://dx.doi.org/10.1007/s12188-008-0005-9.

[BM02]

Maria Basterra and Randy McCarthy. “\(\Gamma \)-homology, topological André-Quillen homology and stabilization”. In: Topology Appl. 121.3 (2002), pp. 551–566. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00098-0.

[BM05]

Maria Basterra and Michael A. Mandell. “Homology and cohomology of \(E_\infty \) ring spectra”. In: Math. Z. 249.4 (2005), pp. 903–944. arXiv: math/0407209. url: https://doi.org/10.1007/s00209-004-0744-y.

[BM12]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “Localization theorems in topological Hochschild homology and topological cyclic homology”. In: Geom. Topol. 16.2 (2012), pp. 1053–1120. arXiv: 0802.3938. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2012.16.1053.

[BM19]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “The homotopy groups of the algebraic \(K\)-theory of the sphere spectrum”. In: Geom. Topol. 23.1 (2019), pp. 101–134. arXiv: 1408.0133. url: https://doi.org/10.2140/gt.2019.23.101.

[BR04]

Maria Basterra and Birgit Richter. “(Co-)homology theories for commutative (\(S\)-)algebras”. In: Structured ring spectra. Vol. 315. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 115–131. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511529955.007.

[DM96]

Bjørn Ian Dundas and Randy McCarthy. “Topological Hochschild homology of ring functors and exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 109.3 (1996), pp. 231–294. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(95)00089-5.

[Dun97]

Bjørn Ian Dundas. “Relative \(K\)-theory and topological cyclic homology”. In: Acta Math. 179.2 (1997), pp. 223–242. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02392744.

[GS20]

J. P. C. Greenlees and Greg Stevenson. “Morita theory and singularity categories”. In: Adv. Math. 365 (2020), pp. 107055, 51. arXiv: 1702.07957. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2020.107055.

[HM97]

Lars Hesselholt and Ib Madsen. “On the \(K\)-theory of finite algebras over Witt vectors of perfect fields”. In: Topology 36.1 (1997), pp. 29–101. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(96)00003-1.

[Lur]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry IV: Deformation Theory. arXiv: 0709.3091.

[Man03]

Michael A. Mandell. “Topological André-Quillen cohomology and \(E_{\infty }\) André-Quillen cohomology”. In: Adv. Math. 177.2 (2003), pp. 227–279. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(02)00017-8.

[McC97]

Randy McCarthy. “Relative algebraic \(K\)-theory and topological cyclic homology”. In: Acta Math. 179.2 (1997), pp. 197–222. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02392743.

[Rog]

John Rognes. Algebraic \(K\)-theory of strict ring spectra. arXiv: 1403. 5998.