Rognes の red-shift conjecture

Rognes らによると, \(S\)-algebra (ring spectrum) の algebraic \(K\)-theory functor を取ると chromatic filtration が一つ上がるらしい。 これを Rognes の red-shift conjecture という。Mislin へ贈り物としてまとめられた予想集 [Cha08] に入っているようである。 Rognes 自身による解説 [Rog] がある。

Ausoni の [Aus10] によると, number field の algebraic \(K\)-theory が Bott periodicity を持つことが, その最初の証拠と考えられるらしい。 つまり, \(v_0\)-periodicity を \(v_1\)-periodicity に上げていると考えるわけである。

もちろん, \(v_1\)-periodicity を \(v_2\)-periodicity に上げる例の方が, 安定ホモトピー論的にはずっと興味深い。その最初の例は connective complex \(K\)-theory の \(p\)-completion の summand に対する Ausoni と Rognes の [AR02] である。Ausoni の [Aus10] は, \(p\)-completed connective complex \(K\)-theory 全体の algebraic \(K\)-theory を計算している。 正確には, これらは algebraic \(K\)-theory としてできる spectrum の mod \((p,v_1)\)-homotopy 群であるが。mod \(p\) connective \(K\)-theory, つまり \(k(1)\) については [AR12] で計算されている。

複素コボルディズム理論で現れる truncated \(\mathrm {BP}\) spectrum \(\mathrm {BP}\langle n\rangle \) や Johnson-Wilson spectrum \(E(n)\) に関連した具体的な予想については, Blumberg と Mandell [BM08] が, その最初の段階を証明している。

\(\mathrm {BP}\langle n \rangle \) については, Hahn と Wilson [HW22] が \(E_{3}\)-\(\mathrm {BP}\)-algebra structure を定義し, その algebraic \(K\)-theory が丁度 \(n+1\) の chromatic height を持つことを示している。

また, \(S\)-algebra における代数幾何学の類似として解釈すると面白いようである。 Ausoni と Rognes の [AR02] などの結果がある。Baas と Dundas と Rognes の \(2\)-vector bundleを構成要素とする cohomology theory [BDR04] は, その視点に基づいたものである。

Lind と Sati と Westerland [LSW20] は, Baas と Dundas と Rognes による connective complex \(K\)-theory spectrum の algebraic \(K\)-theory の研究の次の段階として, algebraic \(K\)-theory を繰り返して取ることを考えている。 更に, higher gerbe を用いて twisting も考えている。

Carlsson と Douglas と Dundas [CDD11] は, chromatic filtration を上げるために algebraic \(K\)-theory functor を繰り返す代りに higher topological cyclic homology を用いることを考えている。

Angelini-Knoll [Ang23] によると, Bhatt と Morrow と Scholze の [BMS19] が, periodic topological cyclic homology が chromatic filtration を1つ上げることの根拠になっているようである。

References

[Ang23]

Gabriel Angelini-Knoll. “Complex orientations and TP of complete DVRs”. In: Homology Homotopy Appl. 25.1 (2023), pp. 319–330. arXiv: 2104.07306.

[AR02]

Christian Ausoni and John Rognes. “Algebraic \(K\)-theory of topological \(K\)-theory”. In: Acta Math. 188.1 (2002), pp. 1–39. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02392794.

[AR12]

Christian Ausoni and John Rognes. “Algebraic \(K\)-theory of the first Morava \(K\)-theory”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 14.4 (2012), pp. 1041–1079. arXiv: 1006.3413. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/326.

[Aus10]

Christian Ausoni. “On the algebraic \(K\)-theory of the complex \(K\)-theory spectrum”. In: Invent. Math. 180.3 (2010), pp. 611–668. arXiv: 0902. 2334. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-010-0239-x.

[BDR04]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, and John Rognes. “Two-vector bundles and forms of elliptic cohomology”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 18–45. arXiv: math/0306027. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.005.

[BM08]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “The localization sequence for the algebraic \(K\)-theory of topological \(K\)-theory”. In: Acta Math. 200.2 (2008), pp. 155–179. arXiv: math / 0606513. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-008-0025-4.

[BMS19]

Bhargav Bhatt, Matthew Morrow, and Peter Scholze. “Topological Hochschild homology and integral \(p\)-adic Hodge theory”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 129 (2019), pp. 199–310. arXiv: 1802. 03261. url: https://doi.org/10.1007/s10240-019-00106-9.

[CDD11]

Gunnar Carlsson, Christopher L. Douglas, and Bjørn Ian Dundas. “Higher topological cyclic homology and the Segal conjecture for tori”. In: Adv. Math. 226.2 (2011), pp. 1823–1874. arXiv: 0803.2745. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.08.016.

[Cha08]

“Guido’s book of conjectures”. In: Enseign. Math. (2) 54.1-2 (2008). Ed. by Indira Chatterji. A gift to Guido Mislin on the occasion of his retirement from ETHZ, June 2006, Collected by Indira Chatterji, pp. 3–189.

[HW22]

Jeremy Hahn and Dylan Wilson. “Redshift and multiplication for truncated Brown-Peterson spectra”. In: Ann. of Math. (2) 196.3 (2022), pp. 1277–1351. arXiv: 2012 . 00864. url: https://doi.org/10.4007/annals.2022.196.3.6.

[LSW20]

John A. Lind, Hisham Sati, and Craig Westerland. “Twisted iterated algebraic \(K\)-theory and topological T-duality for sphere bundles”. In: Ann. K-Theory 5.1 (2020), pp. 1–42. arXiv: 1601.06285. url: https://doi.org/10.2140/akt.2020.5.1.

[Rog]

John Rognes. Chromatic redshift. arXiv: 1403.4838.