Projective and Injective Objects

Abelian category での projective object や injective object は ホモロジー代数の基本であるが, それ以外に様々な形容詞がついた projective object や injective object が定義されている。

まずは, Abelian category \(\bm {A}\) の chain complex の category \(\category {Ch}(\bm {A})\) で定義されるものがある。Chain complex の category は Abelian category になるので, projective object や injective object を考えることができるが, それらだけでは不足するからである。 例えば, model category の構造を定義したりするときとか。

• homotopically projective and homotopically injective objects
• semiprojective and semiinjective objects

Homotopically projective object は Spaltenstein の [Spa88] で有名になった概念であるが, Spaltenstein によると Bernstein により導入されたもののようである。ただ, Spaltenstein は \(K\)-projective や \(K\)-injective と言っている。 この \(K\) というのは, chain complex の category の homotopy category を表すときに使う \(K\) だと思うが, 意味が想像しづらいので Avramov と Foxby と Halperin の [AFH03] に従った。 Drinfel\('\)d [Dri04] や Positselski と Šťovíček も Spaltenstein の用語の起源は, 恐らく chain complex の homotopy category の記号だろう, と言っている。

この辺の用語については, Positselski と Šťovíček の [PŠ22] の Remark 6.4 を見るとよい。 それによると, Efimov と Lunts と Orlov [ELO10] が使っている h-projective や h-injective という用語もある。 また Keller と Krause [KK20] は homotopy injective という用語を使っている。 この homotopy projective や homotopy injective という用語は, その後 Positselski の一連の仕事でも使われているので, [PŠ22] の中でも, この用語が使われている。

また, semiprojective object とか semiinjective object という呼び名も Avramov らに従ったが, これらは dg projective とか dg injective と呼ばれることが多い。

Hopfological algebra でも同様の概念が定義できることを [OT] で示したが, その意味でも semiprojective や semiinjective と呼んだ方が良いと思う。

これらの関係については, Avramov と Foxby と Halperin の [AFH03] で詳しく調べられている。

Relative homological algebra の視点からも, 様々な形容詞の付いた projective object や injective object が定義されている。 目についたものを挙げると以下のようになる。

• Gorenstein projective and injective objects
• strongly Gorenstein projective and injective objects [BM07]
• Gorenstein AC-projective and injective modules [BGH]
• Ding injective and projective modules [MD08; Gil17]

References

[AFH03]

Luchezar L. Avramov, Hans-Bjørn Foxby, and Stephen Halperin. Differential graded homological algebra. 2003.

[BGH]

Daniel Bravo, James Gillespie, and Mark Hovey. The stable module category of a general ring. arXiv: 1405.5768.

[BM07]

Driss Bennis and Najib Mahdou. “Strongly Gorenstein projective, injective, and flat modules”. In: J. Pure Appl. Algebra 210.2 (2007), pp. 437–445. arXiv: math/0606770. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.10.010.

[Dri04]

Vladimir Drinfeld. “DG quotients of DG categories”. In: J. Algebra 272.2 (2004), pp. 643–691. arXiv: math/0210114. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2003.05.001.

[ELO10]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. “Deformation theory of objects in homotopy and derived categories. II. Pro-representability of the deformation functor”. In: Adv. Math. 224.1 (2010), pp. 45–102. arXiv: math/0702839. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.11.004.

[Gil17]

James Gillespie. “On Ding injective, Ding projective and Ding flat modules and complexes”. In: Rocky Mountain J. Math. 47.8 (2017), pp. 2641–2673. arXiv: 1512.05999. url: https://doi.org/10.1216/RMJ-2017-47-8-2641.

[KK20]

Bernhard Keller and Henning Krause. “Tilting preserves finite global dimension”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 358.5 (2020), pp. 563–570. arXiv: 1911.11749. url: https://doi.org/10.5802/crmath.72.

[MD08]

Lixin Mao and Nanqing Ding. “Gorenstein FP-injective and Gorenstein flat modules”. In: J. Algebra Appl. 7.4 (2008), pp. 491–506. url: https://doi.org/10.1142/S0219498808002953.

[OT]

Mariko Ohara and Dai Tamaki. Cotorsion pairs in Hopfological algebra. arXiv: 2012.07159.

[PŠ22]

Leonid Positselski and Jan Šťovíček. “Derived, coderived, and contraderived categories of locally presentable abelian categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.4 (2022), Paper No. 106883, 39. arXiv: 2101.10797. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2021.106883.

[Spa88]

N. Spaltenstein. “Resolutions of unbounded complexes”. In: Compositio Math. 65.2 (1988), pp. 121–154. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1988__65_2_121_0.