Chain complex の圏のモデル構造

Abelian category の (bounded below あるは unbounded) chain complex (differential graded module) の圏は, モデル圏 の基本的な例の一つである。

基本的なのは, 次の2つの model structure である。 Hovey の本 [Hov99] に書かれている。

• projective model structure
• injective model structure

ただ, Abelian category の chain complex の category は, Abelian category なので, Hovey による Abelian model category の理論 [Hov02] により cotorsion pair を用いて構成することもできる。

• Abelian model category

より一般に, Abelian category \(\bm {A}\) に cotorsion pair が与えられたとき, それから \(\bm {A}\) の chain complex の category 上に Abelian model structure を生成することも考えられている。Gilliespie の [Gil04] である。Hovey による解説が [Hov07] にある。

この2つの model structure の内, injective model structure は大抵の Abelian category で存在するが, 残念ながら monoidal model category にならない。 また, injective resolution しか持たないような場合には projective model structure は使えない。そこで Gillespie が考えたのが flat model structure である。

• flat model structure [Gil04]

これら三種類の model structure は, quasi-isomorphism が weak equivalence である。位相空間の圏では, 弱ホモトピー同値を weak equivalence とする Quillen の model structure 以外にも, ホモトピー同値を weak equivalence とする Strøm の model structure がある。Chain complex の圏も, chain homotopy equivalence を weak equivalence とするmodel structure があると考えるは自然である。実際, Golasinski と Gromadzki の [GG82] や Schwänzl と Vogt [SV02] の §4.6 にある。

• chain homotopy equivalence を weak equivalence とする model structure

他にも, Holstein [Pér] により発見された model structure がある。Projective model structure では, cokernel が projective である単射を trivial cofibration とするが, それを cokernel の projective dimension が \(n\) 以下, というふうに拡張したものである。

特に, sheaf の圏について調べた結果がある。

• ringed space の上の sheaf の圏 (より一般に Grothendieck category) の chain complex の圏の model structure [Hov01; Gil06; Gila]
• ringed site の上の presheaf の圏の chain complex の圏の model structure [Fau]

このように, chain complex の category に model structure が定義できると, その homotopy category を考えることができるが, 当然それは, ホモロジー代数で定義された derived category と一致する。 Christensen と Hovey [CH02] によると, このように derived category を model category の homotopy category とみなすことによる利点は, “Hom set” が集合であることを証明できること, そして cofibrant replacement やfibrant replacement として resolution の存在が保証され, derived functor が得られることである。

特に, “Hom set” が集合であることについては, 次のように言っている:

This is not the case in general, and much work on derived categories ignores this possibility.

ただ, このような derived category の元になっている category を探すというアイデアは, 他にも, dg category や \(A_{\infty }\)-category, そして stable \((\infty ,1)\)-categoryを用いて実現されている。いわゆる enhanced triangulated category である。

Christensen と Hovey は, projective class を指定してできるより一般的な derived category も, model category の homotopy category として構成できることを示している。

• projective class
• projective class を指定した Abelian category での chain complex の category の model structure

Pérez [Pér] は projective dimension が高々 \(n\) である object に基づいた \(n\)-projective model structure という model structure を構成している。

\(N>2\) の \(N\) に対し \(d^N=0\) が成り立つ chain complex の一般化である \(N\)-complexに対しても model structure は定義されている。 Quillen-type のものは, Gillespie と Hovey [GH10] で, Strøm-type のものは Gillespie の [Gilb] で与えられている。

有理ホモトピー論などの立場からは, chain complex に留まらず, dg algebra 上の module を扱う必要が出てくる。そして体上の dg algebra 上の module の圏については, よく知られている。 より一般に, 可換環上の dg algebra 上の module の圏については, Barthel と May と Riehl [BMR] が6つの model structure を定義し調べている。

Double complex の category の model structure については, 不思議なことに, あまり考えられてこなかったようである。 Muro と Roitzheim の [MR] では, total model structure と Cartan-Eilenberg model structure の2つの model structure が定義されている。

Filtered chain complex の model structure については, Di Natale の [Nat] がある。その weak equivalence は, filtration の各ステージに制限して quasi-isomorphism になる morphism である。

一方, filtered chain complex に対しては, spectral sequence が定義されるが, その \(E^{r}\)-term の同型を誘導する写像を weak equivalence として, filtered chain complex の category に model structure を入れることができる。 Cirici らの [Cir+] など。 その論文の Introduction を見ると, filtered chain complex のホモトピー論についてどのようなことが調べられてきたかが分かる。

Cirici らは, double complex のcategoryに対しても, この視点から model structure を定義している。

References

[BMR]

Tobias Barthel, J. P. May, and Emily Riehl. Six model structures for DG-modules over DGAs: Model category theory in homological action. arXiv: 1310.1159.

[CH02]

J. Daniel Christensen and Mark Hovey. “Quillen model structures for relative homological algebra”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 133.2 (2002), pp. 261–293. arXiv: math / 0011216. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004102006126.

[Cir+]

Joana Cirici, Daniela Egas Santander, Muriel Livernet, and Sarah Whitehouse. Model category structures and spectral sequences. arXiv: 1805.00374.

[Fau]

H. Fausk. T-model structures on chain complexes of presheaves. arXiv: math/0612414.

[GG82]

Marek Golasiński and Grzegorz Gromadzki. “The homotopy category of chain complexes is a homotopy category”. In: Colloq. Math. 47.2 (1982), pp. 173–178. url: https://doi.org/10.4064/cm-47-2-173-178.

[GH10]

James Gillespie and Mark Hovey. “Gorenstein model structures and generalized derived categories”. In: Proc. Edinb. Math. Soc. (2) 53.3 (2010), pp. 675–696. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0013091508000709.

[Gila]

James Gillespie. A Quillen Approach to Derived Categories and Tensor Products. arXiv: math/0607769.

[Gilb]

James Gillespie. The homotopy category of \(N\)-complexes is a homotopy category. arXiv: 1207.6792.

[Gil04]

James Gillespie. “The flat model structure on \(\mathrm {Ch}(R)\)”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 356.8 (2004), pp. 3369–3390. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03416-6.

[Gil06]

James Gillespie. “The flat model structure on complexes of sheaves”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 358.7 (2006), pp. 2855–2874. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-06-04157-2.

[Hov01]

Mark Hovey. “Model category structures on chain complexes of sheaves”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 353.6 (2001), 2441–2457 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-01-02721-0.

[Hov02]

Mark Hovey. “Cotorsion pairs, model category structures, and representation theory”. In: Math. Z. 241.3 (2002), pp. 553–592. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-002-0431-9.

[Hov07]

Mark Hovey. “Cotorsion pairs and model categories”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 277–296. arXiv: math/ 0701161.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[MR]

Fernando Muro and Constanze Roitzheim. Homotopy Theory of Bicomplexes. arXiv: 1802.07610.

[Nat]

Carmelo Di Natale. Derived moduli of complexes and derived Grassmannians. arXiv: 1407.5900.

[Pér]

Marco Pérez. Homological dimensions and abelian model structures on chain complexes. arXiv: 1202.2481.

[SV02]

R. Schwänzl and R. M. Vogt. “Strong cofibrations and fibrations in enriched categories”. In: Arch. Math. (Basel) 79.6 (2002), pp. 449–462. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00012472.