Abelian category や exact category などの上の model structure

モデル圏の重要な例の1つに, Abelian category の chain complex の圏があるが, chain complex の圏は, 同時に Abelian category にもなっている。

Hovey [Hov02] は, proper class of extensions \(\cP \) が指定された Abelian category で, model structure が \(\cP \) と compatible であるための条件を考えた。 \(\cP \) が全ての short exact sequence の場合, そのような model structure を Abelian model structure という。

• proper class of extensions
• Abelian model structure

この Abelian model structure という用語は, Gillespie [Gil16] によるもののようである。

Hovey の発見は, Abelian category の model structure と cotorsion pair との関係である。正確には, proper class of extensions \(\cP \) が指定された Abelian category \(\bm {A}\) で, \(\cP \) と compatible な model structure は, \((\category {Cof}\cap \category {Triv},\category {Fib})\) と \((\category {Cof},\category {Triv}\cap \category {Fib})\) が \(\cP \) に関し complete cotorsion pair になっているような subcategory の3つ組 \((\category {Cof},\category {Triv},\category {Fib})\) と1対1に対応する, ということを証明した。

このような3つ組は, Gillespie により Hovey triple と名付けられている。

• cotorsion pair
• Hovey triple

Abelian category に proper class of extensions を指定することは, その Abelian category の上に exact category の構造を定めていることに他ならない。 Hovey の model structure と cotorsion pair の対応は, exact category で考えるのが自然に思えるが, 実際, それは Gillespie [Gil11] により行なわれている。 Šťovíček の [Šťo13] をまず読むのが良いと思うが。

• exact category 上の model structure と cotorsion pair の対応

更にこの対応の, triangulated category [Yan15] や extriangulated category の場合 [NP19] での類似も考えられている。

Hovey の定理より, Abelian である model structure は Hovey triple, つまり cotorsion pair の組で必ず記述されるが, Abelian category 上の model structure でも Abelian ではないものを考えることは, できる。

例えば, model structure を1つの cotorsion pair から作ることを, Beligiannis と Reiten が [BR07] で行なっている。 その exact category への拡張を Cui ら [CLZ] が行なっている。

References

[BR07]

Apostolos Beligiannis and Idun Reiten. “Homological and homotopical aspects of torsion theories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 188.883 (2007), pp. viii+207. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0883.

[CLZ]

Jian Cui, Xue-Song Lu, and Pu Zhang. Model structure from one hereditary complete cortorsion pair. arXiv: 2401.08078.

[Gil11]

James Gillespie. “Model structures on exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.12 (2011), pp. 2892–2902. arXiv: 1009.3574. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.04.010.

[Gil16]

James Gillespie. “Hereditary abelian model categories”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 48.6 (2016), pp. 895–922. arXiv: 1512.06001. url: https://doi.org/10.1112/blms/bdw051.

[Hov02]

Mark Hovey. “Cotorsion pairs, model category structures, and representation theory”. In: Math. Z. 241.3 (2002), pp. 553–592. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-002-0431-9.

[NP19]

Hiroyuki Nakaoka and Yann Palu. “Extriangulated categories, Hovey twin cotorsion pairs and model structures”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 60.2 (2019), pp. 117–193. arXiv: 1605.05607.

[Šťo13]

Jan Šťovíček. “Exact model categories, approximation theory, and cohomology of quasi-coherent sheaves”. In: Advances in representation theory of algebras. EMS Ser. Congr. Rep. Eur. Math. Soc., Zürich, 2013, pp. 297–367. arXiv: 1301.5206.

[Yan15]

Xiaoyan Yang. “Model structures on triangulated categories”. In: Glasg. Math. J. 57.2 (2015), pp. 263–284. url: https://doi.org/10.1017/S0017089514000299.