モデル圏の例

モデル圏 (モデル構造) の例としては, まず次のものが基本である。

• 位相空間の圏のモデル構造
• chain complex の圏のモデル構造
• simplicial set の圏のモデル構造

これらの圏の基本的なモデル構造は, Hovey の本 [Hov99] に詳しく書いてある。これらの圏では, 標準的なモデル構造の他にも, 何種類もモデル構造が定義できるが, それらについては, 上のリンク先にまとめた。

もっと単純なモデル圏の例としては, 代数的な対象の圏が挙げられる。Hovey の本では次のものが, 最も単純なものとして挙げてある。

• Frobenius環上の加群の圏

Frobenius category のモデル構造については Nicolas が [Nic08] で述べている。

• Frobenius category のモデル構造

Abelian category の model structure については, 完全列と compatible であることを要求するのが自然である。 Hovey [Hov02] は, そのようなものを Abelian model category と 呼んでいる。当然 exact category などの, 完全列が指定されている圏に一般化できる。

• Abelian category や exact category などの上のモデル構造

Lárusson の [Lár] では, (discrete) equivalence relation の圏が, 最も単純なモデル圏の例として挙げてある。もちろん, もうちょっと広くして (discrete) groupoid の圏を考えてもそれ程複雑にはならない。

• equivalence relation の圏のモデル構造
• discrete groupoid の圏の モデル構造 [And78; Str00; Hol08]

Schommer-Pries の blog post に対する Rezk のコメントによると, この groupoid の model structure が, Rezk が small category の category で圏同値を weak equivalence とする model structure を発見する際の潜在意識にあったようである。

• category の category の model structure

集合の圏には, ちょうど9種類の model structure しかないということは, Goodwillie が この MathOverflow の質問に対する回答の中で述べていることであるが, その詳細を Antolín-Camarena が web 上に書いている。

これらの基本的なモデル構造を用いて, より複雑な圏の model structure を定義することができる。例えば, chain complex の category の model structure から dg algebra の category やある dg algebra 上の module の category の model structure を定義できる。

より一般に, monoidal category での monoid object \(A\) 上の module の category を 考えることもできる。更に, monad 上の algebra や operad 上の algebra などの成す model category を考えることもできる。 もちろん, 元の monoidal category が monoidal model category でないといけないが。

• (広い意味での) module や algebra の成す model category

他にも様々な構成法がある。

• 既知の model category から新しい model category を作る方法

以上は, ホモトピー論 (?) に現われるモデル圏の例であるが, ホモトピー論以外でも様々な分野でモデル構造が発見されている。

• Lárussen による 複素多様体の圏 (を拡張した圏) におけるモデル構造 [Lár04; Lár05]
• simplicial affine group scheme あるいは cosimplicial commutative Hopf algebra の圏のモデル構造 [KPT09]
• Gaucher による 計算機科学でのモデル圏の応用 [Gau03]
• pospace の圏 [Kah06]
• local pospace の圏 [BW06]
• globular complex を cellular object として含む combinatorial model category [Gau09]
• quiver の圏のモデル構造 (Bisson と Tsemo の [BT09; BT11a; BT11b])
• graph の圏のモデル構造 (Drozの[Dro12] や Matsushita の [Mat17])
• stratified simplicial set の圏のモデル構造 ([Ver08])
• profinite group の作用する simplicial profinite set の圏の model structure (Quickの[Qui11])
• equivariant homotopy theory のための model structure (Fausk の [Fau08] の §2)
• 環の圏で unstable homotopy theory を行なうための, 環の圏のモデル圏への拡張 (Garkusha [Gar07])
• linear logic (Eggerの[Egg] とその参考文献), 特に Chu space の圏のモデル構造 ([Egg06])
• ある種の \(C^*\)-algebra の圏のモデル構造 ([JJ06])
• \(C^*\)-algebra の圏を含むモデル圏の構成 ([Øst10])
• 有限な lattice (を small category とみなしたもの) 上の model structure ([Bal+23])

層の圏 (での simplicial object や chain complex の圏) もモデル構造を持つことが多い。

• 層や前層の成す圏のモデル構造

ある圏が自明でないモデル構造を持つことを示すのは難しい。 Cofibrantly generated なら, small object argument を使って functorial factorization が作れるのであるが, 世の中には cofibrantly generated でないモデル圏もある。 そのような例も知っておいた方がよいだろう。

• cofibrantly generated ではないモデル圏の例 (Chorny の [Cho03] など)

References

[And78]

D. W. Anderson. “Fibrations and geometric realizations”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 84.5 (1978), pp. 765–788. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1978-14512-1.

[Bal+23]

Scott Balchin, Kyle Ormsby, Angélica M. Osorno, and Constanze Roitzheim. “Model structures on finite total orders”. In: Math. Z. 304.3 (2023), Paper No. 40, 35. arXiv: 2109.07803. url: https://doi.org/10.1007/s00209-023-03287-6.

[BT09]

Terrence Bisson and Aristide Tsemo. “A homotopical algebra of graphs related to zeta series”. In: Homology Homotopy Appl. 11.1 (2009), pp. 171–184. arXiv: 0802.3859. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832564.

[BT11a]

Terrence Bisson and Aristide Tsemo. “Homotopy equivalence of isospectral graphs”. In: New York J. Math. 17 (2011), pp. 295–320. arXiv: 0906.4087. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2011/17_295.html.

[BT11b]

Terrence Bisson and Aristide Tsemo. “Symbolic dynamics and the category of graphs”. In: Theory Appl. Categ. 25 (2011), No. 22, 614–640. arXiv: 1104.1805.

[BW06]

Peter Bubenik and Krzysztof Worytkiewicz. “A model category for local po-spaces”. In: Homology, Homotopy Appl. 8.1 (2006), pp. 263–292. arXiv: math/0506352.

[Cho03]

Boris Chorny. “The model category of maps of spaces is not cofibrantly generated”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 131.7 (2003), 2255–2259 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-03-06901-6.

[Dro12]

Jean-Marie Droz. “Quillen model structures on the category of graphs”. In: Homology Homotopy Appl. 14.2 (2012), pp. 265–284. arXiv: 1209.2699. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n2.a14.

[Egg]

J. M. Egger. Quillen model categories without equalisers or coequalisers. arXiv: math/0609808.

[Egg06]

Jeffrey M. Egger. “A Quillen Model Structure for Chu Spaces”. In: Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155 (2006), pp. 361–377.

[Fau08]

Halvard Fausk. “Equivariant homotopy theory for pro-spectra”. In: Geom. Topol. 12.1 (2008), pp. 103–176. arXiv: math/0609635. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.103.

[Gar07]

Grigory Garkusha. “Homotopy theory of associative rings”. In: Adv. Math. 213.2 (2007), pp. 553–599. arXiv: math/0608482. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.12.013.

[Gau03]

Philippe Gaucher. “A model category for the homotopy theory of concurrency”. In: Homology Homotopy Appl. 5.1 (2003), pp. 549–599. arXiv: math/0308054. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839943.

[Gau09]

Philippe Gaucher. “Homotopical interpretation of globular complex by multipointed \(d\)-space”. In: Theory Appl. Categ. 22 (2009), pp. 588–621. arXiv: 0710.3553.

[Hol08]

Sharon Hollander. “A homotopy theory for stacks”. In: Israel J. Math. 163 (2008), pp. 93–124. arXiv: math/0110247. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11856-008-0006-5.

[Hov02]

Mark Hovey. “Cotorsion pairs, model category structures, and representation theory”. In: Math. Z. 241.3 (2002), pp. 553–592. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-002-0431-9.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[JJ06]

Michael Joachim and Mark W. Johnson. “Realizing Kasparov’s \(KK\)-theory groups as the homotopy classes of maps of a Quillen model category”. In: An alpine anthology of homotopy theory. Vol. 399. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 163–197. arXiv: 0705.1971. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/399/07518.

[Kah06]

Thomas Kahl. “Relative directed homotopy theory of partially ordered spaces”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 1.1 (2006), pp. 79–100. arXiv: math/0605541.

[KPT09]

L. Katzarkov, T. Pantev, and B. Toën. “Algebraic and topological aspects of the schematization functor”. In: Compos. Math. 145.3 (2009), pp. 633–686. arXiv: math/0503418. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X09004096.

[Lár]

Finnur Lárusson. The homotopy theory of equivalence relations. arXiv: math/0611344.

[Lár04]

Finnur Lárusson. “Model structures and the Oka principle”. In: J. Pure Appl. Algebra 192.1-3 (2004), pp. 203–223. arXiv: math/0303355. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2004.02.005.

[Lár05]

Finnur Lárusson. “Mapping cylinders and the Oka principle”. In: Indiana Univ. Math. J. 54.4 (2005), pp. 1145–1159. arXiv: math/0408373. url: http://dx.doi.org/10.1512/iumj.2005.54.2731.

[Mat17]

Takahiro Matsushita. “Box complexes and homotopy theory of graphs”. In: Homology Homotopy Appl. 19.2 (2017), pp. 175–197. arXiv: 1605.06222. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2017.v19.n2.a10.

[Nic08]

Pedro Nicolás. “The bar derived category of a curved dg algebra”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.12 (2008), pp. 2633–2659. arXiv: math/0702449. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.04.001.

[Øst10]

Paul Arne Østvær. Homotopy theory of \(C^*\)-algebras. Frontiers in Mathematics. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2010, p. 139. isbn: 978-3-0346-0564-9. arXiv: 0812.0154. url: https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0565-6.

[Qui11]

Gereon Quick. “Continuous group actions on profinite spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.5 (2011), pp. 1024–1039. arXiv: 0906.0245. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.07.008.

[Str00]

N. P. Strickland. “\(K(N)\)-local duality for finite groups and groupoids”. In: Topology 39.4 (2000), pp. 733–772. arXiv: math/0011109. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00031-2.

[Ver08]

D. R. B. Verity. “Weak complicial sets. I. Basic homotopy theory”. In: Adv. Math. 219.4 (2008), pp. 1081–1149. arXiv: math/0604414. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.06.003.