Categories with Additional Structures

圏に構造を付加したものの中でよく使うのは, monoidal category やそれにより enrich された category だろう。

• monoidal category
• enriched category

表現論などで使われる monoidal category には, object の dual が定義されるものが多い。

• rigid monoidal category あるいは autonomous category

一方, morphism の dual, つまり morphism の向きを逆にする操作を持つものとして, dagger category という構造がある。

• dagger category

概要を掴むのには, Karvonen の thesis [Kar] の Introduction を読むのが良い。それによると, categorical quantum mechanics や quantum computing などで登場したが, 他にも ホモロジー代数 や operator algebra など, 様々な分野で様々な名前で登場している。

Karvonen によると, dagger category という言葉は, Selinger の [Sel07] で登場したのが最初のようである。

Heunen と Karvonen [HK16] により, dagger category 上の monad が調べられている。 Bicategory版は Poklewski-Koziell の [Pok21] などで調べられている。

Involution を持つものとしては, supercategory という構造もある。

• supercategory あるいは involutive category

群や位相空間などは, 集合の category への forgetful functor を持つが, より一般に “forgetful functor” を持つ category として concrete category の概念がある。

• concrete category

有限 poset の rank function の類似を持つものは, 様々な分野に登場する。

• ranked category

圏に高次の射を付加したものも, 最近では popular である。

• 高次の圏

References

[HK16]

Chris Heunen and Martti Karvonen. “Monads on dagger categories”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 35, 1016–1043. arXiv: 1602.04324.

[Kar]

Martti Karvonen. The Way of the Dagger. arXiv: 1904.10805.

[Pok21]

Rowan Poklewski-Koziell. “A note on Frobenius-Eilenberg-Moore objects in dagger 2-categories”. In: Theory Appl. Categ. 37 (2021), Paper No. 31, 996–1016. arXiv: 2101.05210. url: https://doi.org/10.1007/s10409-021-01076-0.

[Sel07]

Peter Selinger. “Dagger compact closed categories and completely positive maps”. In: Electronic Notes in Theoretical computer science 170 (2007), pp. 139–163.