Dagger Categories

Dagger category とは, 簡単に言うと, morphism の向きを逆にする操作を持つ category のことである。

概要を掴むのには, Karvonen の thesis [Kar] の Introduction を読むのが良い。それによると, categorical quantum mechanics や quantum computing などで登場したが, 他にも ホモロジー代数 や operator algebra など, 様々な分野で登場している。

Karvonen によると, dagger category という言葉は, Selinger の [Sel07b; Sel07a] で登場したのが最初のようであるが, 同じ概念は, 既に1960年代から別の名前で何度も独立に導入されていたようである。

例としては, まず groupoid がある。また, Hilbert space と bounded operator の category も adjoint operator を取る操作で dagger category になる。

Monoidal structure を持つ dagger category は, 古くから用いられているし, bicategory 版は Poklewski-Koziell の [Pok21] などで調べられている。

• monoidal dagger category
• dagger bicategory

Heunen と Karvonen [HK16] により, dagger category 上の monad が調べられている。

References

[HK16]

Chris Heunen and Martti Karvonen. “Monads on dagger categories”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 35, 1016–1043. arXiv: 1602.04324.

[Kar]

Martti Karvonen. The Way of the Dagger. arXiv: 1904.10805.

[Pok21]

Rowan Poklewski-Koziell. “A note on Frobenius-Eilenberg-Moore objects in dagger 2-categories”. In: Theory Appl. Categ. 37 (2021), Paper No. 31, 996–1016. arXiv: 2101.05210. url: https://doi.org/10.1007/s10409-021-01076-0.

[Sel07a]

P. Selinger, ed. Proceedings of the 3rd International Workshop on Quantum Programming Languages (QPL 2005). Vol. 170. Electronic Notes in Theoretical Computer Science. Held at DePaul University, Chicago, IL, June 30–July 1, 2005. Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2007, front matter+199.

[Sel07b]

Peter Selinger. “Dagger compact closed categories and completely positive maps”. In: Electronic Notes in Theoretical computer science 170 (2007), pp. 139–163.