モジュライ空間の幾何学

モジュライ空間とは, 何なんのだろうか? 私のイメージでは, ある幾何学的対象の集合に幾何学的構造を定義し, 「空間」にしたものを, モジュライ空間と呼ぶことが多いように思う。

もっとも簡単なのは, \(0\)次元の部分対象, つまり点を集めてきたものであり, 例えば代数幾何では, 点の Hilbert scheme と呼ばれるものを考えたりする。 他には、 vector bundle の moduli space などもある。代数曲線 (Riemann面) の moduli も様々な分野で現れる重要な研究対象である。

「空間」を構成することが難しい場合には, 一般化された空間の概念を使う必要がある。 よく使われるのは, stack である。 Deligne-Mumford stack の解説としては, Edidin の [Edi00] がある。

• vector bundle の moduli
• 代数曲線や Riemann面の moduli

更に, 安定ホモトピー論の道具が使われるようになったことは, 興味深い。例えば Szymik の [Szy] やそこに挙げられている文献を見るとよい。

トポロジーで広く使われる点の配置空間も, moduli space の一種と思っていいだろう。 他にも様々なものの配置の成す空間が考えられている。

• 配置の成す空間

多様体 \(M\) 上の Morse関数の diffeomorphism group \(\mathrm {Diff}(M)\) による orbit が, ある種の configuration space とホモトピー同値であることが, Maksymenko [Mak08] により示されている。

微分幾何では, metric の成す moduli space を考える。例えば, Walsh [Wal13] は, positive scalar curvature metric の成す空間のホモトピー型が調べられている。

• space of metrics

代数的トポロジーでは, Goerss と Hopkins の仕事 [GH04] や, Hokins と Miller [Hop02] による \(\mathrm {tmf}\) (topological modular form) の構成や, その Lurie による改良 [Lur09] が有名である。 Lurie による ICM 2010 での講演録 [Lur10] を見るとよい。

他には, unstable \(\mathcal {A}_*\)-coalgebra の実現でも使われている。 Biedermann と Raptis と Stelzer の [BRS] である。

References

[BRS]

Georg Biedermann, Georgios Raptis, and Manfred Stelzer. The realization space of an unstable coalgebra. arXiv: 1409.0410.

[Edi00]

Dan Edidin. “Notes on the construction of the moduli space of curves”. In: Recent progress in intersection theory (Bologna, 1997). Trends Math. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2000, pp. 85–113. arXiv: math/9805101.

[GH04]

P. G. Goerss and M. J. Hopkins. “Moduli spaces of commutative ring spectra”. In: Structured ring spectra. Vol. 315. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 151–200. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511529955.009.

[Hop02]

M. J. Hopkins. “Algebraic topology and modular forms”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 291–317.

[Lur09]

J. Lurie. “A survey of elliptic cohomology”. In: Algebraic topology. Vol. 4. Abel Symp. Berlin: Springer, 2009, pp. 219–277. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01200-6_9.

[Lur10]

Jacob Lurie. “Moduli problems for ring spectra”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II. Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010, pp. 1099–1125.

[Mak08]

Sergiy Maksymenko. “Homotopy dimension of orbits of Morse functions on surfaces”. In: Travaux mathématiques. Vol. XVIII. Vol. 18. Trav. Math. Fac. Sci. Technol. Commun. Univ. Luxemb., Luxembourg, 2008, pp. 39–44. arXiv: 0710.4437.

[Szy]

Markus Szymik. Brave new local moduli for ordinary K3 surfaces. arXiv: 0908.1880.

[Wal13]

Mark Walsh. “Cobordism invariance of the homotopy type of the space of positive scalar curvature metrics”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 141.7 (2013), pp. 2475–2484. arXiv: 1109.6878. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2013-11647-3.