Steenrod 代数上の unstable module の実現問題

与えられた unstable \(\mathcal{A}\)-module や \(\mathcal{A}\)-algebra が位相空間の mod \(p\) cohomology として実現できるか, というのは代数的トポロジーにおける基本的な問題である。

最も有名なのは, Clark と Ewing による結果 [CE74] である。

他には, Kuhn の [Kuh95] がある。そこで提示された予想は, Schwarz により [Sch98] で解決されたが, その有限性の条件を外したのが Dehon と Gaudens の [DG03] である。彼等は profinite space の homotopy theory を用いている。

Unstable に考えると, unstable \(\mathcal{A}\)-algebra としての実現を考えるのが重要である。 多項式環の実現問題については, まず Adams と Wilkerson の [AW80; AW81], Dwyer と Miller と Wilkerson の [DMW92], そして Notbohm の [Not99] がある。 \(\Z \) 上の多項式環については, Kasper Anderson と Grodal の [AG08] がある。

実現の成す moduli space を考えることもできる。 Unstable \(\mathcal{A}_*\)-coalgebra の場合は, Biedermann と Raptis と Stelzer [BRS] により考えられている。

References

[AG08]

Kasper K. S. Andersen and Jesper Grodal. “The Steenrod problem of realizing polynomial cohomology rings”. In: J. Topol. 1.4 (2008), pp. 747–760. arXiv: 0704.4002. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtn021.

[AW80]

J. F. Adams and C. W. Wilkerson. “Finite \(H\)-spaces and algebras over the Steenrod algebra”. In: Ann. of Math. (2) 111.1 (1980), pp. 95–143. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971218.

[AW81]

J. F. Adams and C. W. Wilkerson. “A correction: “Finite \(H\)-spaces and algebras over the Steenrod algebra” [Ann. of Math. (2) 111 (1980), no. 1, 95–143; MR 81h:55006]”. In: Ann. of Math. (2) 113.3 (1981), pp. 621–622. url: http://dx.doi.org/10.2307/2007002.

[BRS]

Georg Biedermann, Georgios Raptis, and Manfred Stelzer. The realization space of an unstable coalgebra. arXiv: 1409.0410.

[CE74]

Allan Clark and John Ewing. “The realization of polynomial algebras as cohomology rings”. In: Pacific J. Math. 50 (1974), pp. 425–434.

[DG03]

François-Xavier Dehon and Gérald Gaudens. “Espaces profinis et problèmes de réalisabilité”. In: Algebr. Geom. Topol. 3 (2003), 399–433 (electronic). arXiv: math/0306271. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2003.3.399.

[DMW92]

W. G. Dwyer, H. R. Miller, and C. W. Wilkerson. “Homotopical uniqueness of classifying spaces”. In: Topology 31.1 (1992), pp. 29–45. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(92)90062-M.

[Kuh95]

Nicholas J. Kuhn. “On topologically realizing modules over the Steenrod algebra”. In: Ann. of Math. (2) 141.2 (1995), pp. 321–347. url: http://dx.doi.org/10.2307/2118523.

[Not99]

D. Notbohm. “Spaces with polynomial mod-\(p\) cohomology”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 126.2 (1999), pp. 277–292. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004198003284.

[Sch98]

Lionel Schwartz. “À propos de la conjecture de non-réalisation due à N. Kuhn”. In: Invent. Math. 134.1 (1998), pp. 211–227. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050263.