Noncommutative Simplicial and Cell Complexes

非可換幾何学の枠組みで, 古典的な代数的トポロジーの構成を真似しようとすると, simplicial complex や CW complex の非可換版が欲しくなる。

CW complex の場合は, Eilers, Loring, Pedersen [ELP98] によるものがある。

• noncommutative CW complex

アイデアは, \(0\)-cell に disk を貼り付ける, つまり mapping cone を取る操作を繰り返すことによる。\(0\)-cell としては有限次 matrix algebra を用い, disk は disk (cube) の関数環を用いる。

そこで用いる mapping cone については, Wegge-Olsen の [Weg93] にある。

• noncommutative mapping cone

そのようにしてできた, \(C^{*}\)-algebra の性質については, Pedersen 自身 [Ped99] や, Diep [Diea; Die14; Dieb] により調べられている。

CW 複体と言えば Morse theory であるが, それについては Milani らの [MRM11] で Eilers, Loring, Pedersen の noncommutative CW-complex に合う形で考えられている。

• noncommutative Morse theory

最近でも, D’Andrea, Hajac, Maszczyk, Sheu, Zieliński [DAn+] による Waldhausen category を用いた試みがある。そこでは, quantum CW complex と呼ばれているが。

Cuntz [Cun02] は, abstract simplicial complex から (非可換な) \(C^*\)-algebra を構成しているが, その可換化が simplicial complex の幾何学的実現上の関数の成す \(C^*\)-algebra になっているようである。 その意味でこの \(C^*\)-algebra は simplicial complex の非可換化と言えるだろう。 これを拡張して simplicial set の非可換版が定義できると, より現代的な非可換ホモトピー論ができると思う。 これについては, Mahanta [Mah] の試みがある。 \(C^*\)-algebra の category と dg category の category そして, simlicial set の category を関連づけることを考えている。

References

[Cun02]

J. Cuntz. “Noncommutative simplicial complexes and the Baum-Connes conjecture”. In: Geom. Funct. Anal. 12.2 (2002), pp. 307–329. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00039-002-8248-6.

[DAn+]

Francesco D’Andrea, Piotr M. Hajac, Tomasz Maszczyk, Albert Sheu, and Bartosz Zielinski. The \(K\)-theory type of quantum CW-complexes. arXiv: 2002.09015.

[Diea]

Do Ngoc Diep. Category of Noncommutative CW Complexes. arXiv: 0707.0191.

[Dieb]

Do Ngoc Diep. Category of Noncommutative CW complexes. III. arXiv: math/0211047.

[Die14]

Do Ngoc Diep. “Category of noncommutative CW-complexes. II”. In: Vietnam J. Math. 42.1 (2014), pp. 73–82. arXiv: math/0211048. url: https://doi.org/10.1007/s10013-013-0036-0.

[ELP98]

Søren Eilers, Terry A. Loring, and Gert K. Pedersen. “Stability of anticommutation relations: an application of noncommutative CW complexes”. In: J. Reine Angew. Math. 499 (1998), pp. 101–143.

[Mah]

Snigdhayan Mahanta. Noncommutative correspondence categories, simplicial sets and pro \(C^*\)-algebras. arXiv: 0906.5400.

[MRM11]

Vida Milani, Ali Asghar Rezaei, and Seyed M. H. Mansourbeigi. “Morse theory for \(\mathrm {C}^*\)-algebras: a geometric interpretation of some noncommutative manifolds”. In: Appl. Gen. Topol. 12.2 (2011), pp. 175–185. arXiv: 0912.2471. url: https://doi.org/10.4995/agt.2011.1650.

[Ped99]

Gert K. Pedersen. “Pullback and pushout constructions in \(C^*\)-algebra theory”. In: J. Funct. Anal. 167.2 (1999), pp. 243–344. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1999.3456.

[Weg93]

N. E. Wegge-Olsen. \(K\)-theory and \(C^{*}\)-algebras. Oxford Science Publications. A friendly approach. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993, pp. xii+370. isbn: 0-19-859694-4.