Invariants of Metric Spaces and Related Structures

距離空間に対して定義される数としては, まず Lebesgue 数を知っておくべきだろう。正確には, コンパクト距離空間の開被覆に対し定されるものであるが。

• Lebesgue 数

Lebesgue 数は, コンパクト距離空間, 例えば \([0,1]^n\) や \(S^n\), から位相空間 \(X\) への連続写像を考えるときに良く使う。\(X\) の開被覆があれば, その逆像をとることによりコンパクト距離空間の開被覆ができるからである。

Covering で定義されるものとして, Vietoris-Rips complex という単体的複体もある。

• Vietoris-Rips complex

Borsuk number という不変量もある。同じ位相を定義する距離の Borsuk number の最小値を topological Borsuk number というらしい。 Soibelman の解説 [Soi] がある。

• Borsuk number
• topological Borsuk number

何と, Euclid空間の場合もよくわかっていないらしい。\(\R ^2\) の場合は Soibelman [Soı̆80] により equivariant topology の問題に帰着することにより解決された。\(n>2\) の場合の \(\R ^n\) の topological Borsuk number が何かは, まだ分かっていないようである。

距離空間からグラフを作ることにより chromatic number を定義することもできる。Parlier と Petit の [PP16] など。

距離空間に対しては, local isometry という同値関係を考えることにより, topological groupoid が得られる。Renault は, [Ren80] で, ある条件をみたす topological groupoid に対して, (noncommutative) \(C^*\)-algebra を定義しているが, Hughes は compact locally rigid ultrametric space の local isometry の groupoid に対し Renault の理論が適用できることを確かめている。 よって非可換幾何学の手法が使えるわけである。

Leinster と Willerton [LW13; Wil; Lei13] は, Lawvere [Law73] による, 距離空間を非負の実数の成す poset \(\R _{\ge 0}\) で enrich された small category と見なすという視点に基づいて, magnitude という不変量を定義している。

• magnitude

Lie群の離散部分群や mapping class group などの離散群を考えるときにも距離が有効であるということを発見したのは, Gromov [Gro93] である。そのために asymptotic dimension など距離空間に対し様々な次元が定義されている。この分野では, ある距離空間から距離を ultrafilter に関し次第に縮めていった asymptotic cone [BDS11] など, 様々な距離空間に関する操作が駆使されているようである。

• 有限生成群の word norm
• 距離空間の様々な次元
• asymptotic cone

References

[BDS11]

Jason Behrstock, Cornelia Druţu, and Mark Sapir. “Median structures on asymptotic cones and homomorphisms into mapping class groups”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 102.3 (2011), pp. 503–554. arXiv: 0810.5376. url: https://doi.org/10.1112/plms/pdq025.

[Gro93]

M. Gromov. “Asymptotic invariants of infinite groups”. In: Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991). Vol. 182. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993, pp. 1–295.

[Law73]

F. William Lawvere. “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. In: Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 43 (1973), 135–166 (1974).

[Lei13]

Tom Leinster. “The magnitude of metric spaces”. In: Doc. Math. 18 (2013), pp. 857–905. arXiv: 1012.5857.

[LW13]

Tom Leinster and Simon Willerton. “On the asymptotic magnitude of subsets of Euclidean space”. In: Geom. Dedicata 164 (2013), pp. 287–310. arXiv: 0908.1582. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-012-9773-6.

[PP16]

Hugo Parlier and Camille Petit. “Chromatic numbers of hyperbolic surfaces”. In: Indiana Univ. Math. J. 65.4 (2016), pp. 1401–1423. arXiv: 1411.3565. url: https://doi.org/10.1512/iumj.2016.65.5842.

[Ren80]

Jean Renault. A groupoid approach to \(C^{\ast } \)-algebras. Vol. 793. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1980, pp. ii+160. isbn: 3-540-09977-8.

[Soi]

Yan Soibelman. Topological Borsuk problem. arXiv: math/0208221.

[Soı̆80]

Ja. S. Soı̆bel\('\)man. “Calculation of a topological invariant connected with the partitioning of figures into parts of smaller diameter”. In: Mat. Zametki 27.4 (1980), pp. 647–649, 671.

[Wil]

Simon Willerton. Heuristic and computer calculations for the magnitude of metric spaces. arXiv: 0910.5500.