Mapping Class Groups

多様体 \(M\) の微分同相群 \(\mathrm {Diff}(M)\) の弧状連結成分の成す群 \(\pi _0(\mathrm {Diff}(M))\) を \(M\) の mapping class group という。特に, Riemann面の場合が良く研究されていて, 単に mapping class group と言うと Riemann面の場合のことを意味することが多い。 Diffeomorphism ということを強調して, diffeotopy group と呼んでいる人 [DG10] もいる。

• 曲面の mapping class group
• mapping class group のコホモロジー
• mapping class group の表現
• mapping class group と\(3\)次元多様体

もちろん, 高次元の多様体の場合でも考えられている。例えば, Ebert [Ebe11] は Miller-Morita-Mumford class の高次元への一般化を考えている。 Randal-Williams との [ER14] では Torelli 群が考えられている。

関連した群として, braid group や free group の (outer) automorphism group がある。

• braid group
• automorphism group of free group

グラフに対しても, mapping class group が Algom-Kfir と Bestvina [AB] により導入されている。 微分同相ではなく, proper homotopy equivalence を用いたものであるが。

• mapping class group of graph

References

[AB]

Yael Algom-Kfir and Mladen Bestvina. Groups of proper homotopy equivalences of graphs and Nielsen Realization. arXiv: 2109.06908.

[DG10]

Fan Ding and Hansjörg Geiges. “The diffeotopy group of \(S^1\times S^2\) via contact topology”. In: Compos. Math. 146.4 (2010), pp. 1096–1112. arXiv: 0903.1488. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X09004606.

[Ebe11]

Johannes Ebert. “Algebraic independence of generalized MMM-classes”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.1 (2011), pp. 69–105. arXiv: 0910.1030. url: https://doi.org/10.2140/agt.2011.11.69.

[ER14]

Johannes Ebert and Oscar Randal-Williams. “Generalised Miller-Morita-Mumford classes for block bundles and topological bundles”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.2 (2014), pp. 1181–1204. arXiv: 1306.3332. url: https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.1181.