Mapping class group と3次元多様体

Mapping class group と\(3\)次元多様体に関する話題としては, 二つのものが考えられる。曲面の mapping class group の\(3\)次元多様体への応用と, \(3\)次元多様体自身の mapping class group である。

曲面の mapping class group の元が与えられると, 曲面を境界とする handle body を二つ貼り合せて, \(3\)次元多様体を作ることができる。 いわゆる Heegaard splitting である。Mapping class group の元の性質と出来た\(3\)次元多様体の性質にどのような関係があるか, というのは誰もが思い付く問題だろう。

これについては, Birman が [Bir06] でいくつかの問題を提起している。

Hatcher と Wahl は, [HW05; HW08] で free group の relative 版の automorphism group の cohomology の stability について調べているが, その際 “relative free group” をある\(3\)次元多様体の mapping class group とみている。

彼らは, それらの結果を用いて, [HW10] で\(3\)次元多様体の mapping class group が homological stability を持つことを証明している。

References

[Bir06]

Joan S. Birman. “The topology of 3-manifolds, Heegaard distance and the mapping class group of a 2-manifold”. In: Problems on mapping class groups and related topics. Vol. 74. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 133–149. arXiv: math/0502545.

[HW05]

Allen Hatcher and Nathalie Wahl. “Stabilization for the automorphisms of free groups with boundaries”. In: Geom. Topol. 9 (2005), 1295–1336 (electronic). arXiv: math/0406277. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.1295.

[HW08]

Allen Hatcher and Nathalie Wahl. “Erratum to: “Stabilization for the automorphisms of free groups with boundaries” [Geom. Topol. 9 (2005), 1295–1336]”. In: Geom. Topol. 12.2 (2008), pp. 639–641. arXiv: math/0608333. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.639.

[HW10]

Allen Hatcher and Nathalie Wahl. “Stabilization for mapping class groups of 3-manifolds”. In: Duke Math. J. 155.2 (2010), pp. 205–269. arXiv: 0709.2173. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2010-055.