Mapping class groupのコホモロジー

Riemann面の mapping class group のコホモロジーは, 様々な分野の研究者を魅きつけてきた対象である。 2005年ぐらいまでの知られていることと未解決問題については, Morita の survey [Mor06] がある。

Morita の [Mor99] の Problem 2.2 (i) は, Biss と Farb により [BF06] で解決された。と思ったら, 間違いがあった [BF09] ようである。 北大の秋田さんに教えてもらった。この問題はまだ open らしい。

Mapping class group の(コ)ホモロジーについては, 以下のようなことが重要である。

• Miller-Morita-Mumford class
• Mumford 予想
• Madsen と Weiss [MW07] による強い形での Mumford 予想の解決
• Witten と Kontsevich による combinatorial class [Kon92]

Madsen と Weiss による Mumford 予想の解決は, ホモトピー論的な statement に翻訳された形で証明された。元の Mumford 予想よりも強い形である。

この Math Overflow の質問に対する Randal-Williams による回答によると, その後 Galatius, Madsen, Tillmann, Weiss の [Gal+09], Galatius と Randal-Williams の [GR10], Eliashberg と Galatius と Mishachev の [EGM], という三つの別証が見つかっているようである。まずは Hatcher の解説 [Hat] を読んでみると良いかもしれない。

Mumford 予想は, Teleman の family topological field theory の分類 [Tel12] で使われている。

Mumford 予想の解決により, stable mapping class group の \(\Q \) 係数のコホモロジーが, Miller-Morita-Mumford class で生成された多項式環であることが分かったが, 整係数のコホモロジーについては, あまり分かっていない。Torsion subgroup で割ったものを調べたものとして, Galatius と Madsen と Tillmann の [GMT06] があるが。Mod \(p\) homology については, Galatius の [Gal04] がある。

このように, Madsen と Weiss の結果と, それを切っ掛けにした研究により stable homology についてはかなり分かってきたが, unstable homology については Godin が [God07] で構成している graph complex がある。Godin は string topology への応用を念頭においているようである。Chas-Sullivan product を \[ H_*(B\Gamma _{p+q,1})\otimes H_*(LM)^{\otimes p} \longrightarrow H_*(LM)^{\otimes q} \] に拡張しようということらしい。

Igusa は, Kleber との共著 [IK04] で, Witten と Kontsevich の class の係数の recursive な公式を求めている。

• Witten と Kontsevich の class が adjusted Miller-Morita-Mumford class の多項式で表わせること [Igu04]

Riemann面の mapping class group の変種も色々考えることができる。例えば, Galatius [Gal06] は spin mapping class の安定ホモロジーを Madsen-Weiss 流に調べている。

Mapping class group や \(\mathrm{Out}(F_n)\) のコホモロジーに対する approach としては, Kontsevich の結果 [Kon93; Kon94] がある。 Kontsevich の graph complex という名前で知られている。

• graph complex と graph cohomology

Kontsevich は, その論文の中で \(\mathrm{Out}(F_n)\) の \(\Q \) 係数のコホモロジーが, ある無限次元 Lie algebra \(\ell _{\infty }\) のホモロジーと一致することを示した。 よって, \(\ell _{\infty }\) を用いて \(\mathrm{Out}(F_n)\) を調べようというのは自然なアイデアである。これについては, Morita が [Mor99] で rational cohomology class (cycle) の系列を作ったのが最初のようである。 別のアプローチとしては, Hamilton と Lazarev の [HL] がある。

その Morita cycle の別の解釈と一般化を Conant と Vogtmann が [CV08] で発見している。そこでは [CV03] で導入された forested graph complex が用いられている。ほとんどの Morita cycle が \(\mathrm{Aut}(F_n)\) に lift することも示されている。

その \(\mathrm{Aut}(F_n)\) の Morita cycle の unstability について調べたのが, Conant と Vogtmann の [CV08] である。\(1\)回の stabilization で消えることが示されている。

Mapping class group の場合は, Morita の [Mor08] で構成された unstable class があり, その非自明性が Conant の [Con07] で示されている。

References

[BF06]

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[BF09]

Daniel Biss and Benson Farb. “Erratum: \(\mathcal{K}_g\) is not finitely generated”. In: Invent. Math. 178.1 (2009), p. 229. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-009-0202-x.

[Con07]

James Conant. “Ornate necklaces and the homology of the genus one mapping class group”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 39.6 (2007), pp. 881–891. arXiv: math/0610143. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdm076.

[CV03]

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[CV08]

James Conant and Karen Vogtmann. “Morita classes in the homology of \(\mathrm{Aut}(F_n)\) vanish after one stabilization”. In: Groups Geom. Dyn. 2.1 (2008), pp. 121–138. arXiv: math/0606510. url: http://dx.doi.org/10.4171/GGD/33.

[EGM]

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[Gal+09]

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[Gal04]

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[Gal06]

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[GMT06]

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[God07]

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[Hat]

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[HL]

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[Igu04]

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[Kon92]

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[Mor06]

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[Mor08]

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[Mor99]

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[MW07]

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[Tel12]

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