Kontsevich’s Graph Complex and its Homology

Kontsevich は, [Kon93; Kon94] で quiver から chain complex を構成する方法を導入した。Graph complex と呼ばれている。様々なものに関係しているが, 代数的トポロジーとの関係では, mapping class group や 結び目の空間のホモロジーなどに使われる。

定義はどれを見るのがよいのだろうか。Willwacher の [Wil15] に書いてある quiver からできる operad を用いたものはとてもスッキリしている。 Conant と Vogtmann [CV03] が考えているように, cyclic operad から chain complex を作る操作 (functor) と考えるのがよいのだろうか。

Kontsevich は, その cohomology class を構成するための方法も考えている。 Hamilton と Lazarev の [HL09] によると, それには \(A_{\infty }\)-algebra を用いるものと Frobenius algebra (contractible differential graded Frobenius algebra) を用いるものの二つがある。前者が direct construction, 後者が dual construction と呼ばれているらしい。

Direct construction については, Hamilton と Lazarev の [HL08] で別の方法が提案されている。 [HL09] は dual construction に関するものである。

Miller-Morita-Mumford class との関係については, Igusa の [Igu04] や Mondello の [Mon04] などがある。

Willwacher [Wil15] は, Grothendieck-Teichmüller group との関係を調べている。

Conant, Kassabov, Vogtmann [CKV] は, cyclic operad の hairly graph homology というものを考えているが, それはある involution を持つ associative algebra の dihedral homology と同一視できるようである。

変種としては, graph を matroid に変えたものがある。 Alekseyevskaya, Borovik, Gel\('\)fand, White [Ale+00] により導入されたものである。

References

[Ale+00]

Tatiana V. Alekseyevskaya, Alexandre V. Borovik, I. M. Gelfand, and Neil White. “Matroid homology”. In: The Gelfand Mathematical Seminars, 1996–1999. Gelfand Math. Sem. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2000, pp. 1–13.

[CKV]

Jim Conant, Martin Kassabov, and Karen Vogtmann. Higher hairy graph homology. arXiv: 1308.3825.

[CV03]

James Conant and Karen Vogtmann. “On a theorem of Kontsevich”. In: Algebr. Geom. Topol. 3 (2003), pp. 1167–1224. arXiv: math/0208169. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2003.3.1167.

[HL08]

Alastair Hamilton and Andrey Lazarev. “Characteristic classes of \(A_\infty \)-algebras”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 3.1 (2008), pp. 65–111. arXiv: math/0608395. url: https://doi.org/10.1017/s0269889700000715.

[HL09]

Alastair Hamilton and Andrey Lazarev. “Graph cohomology classes in the Batalin-Vilkovisky formalism”. In: J. Geom. Phys. 59.5 (2009), pp. 555–575. arXiv: math/0701825. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.geomphys.2009.01.007.

[Igu04]

Kiyoshi Igusa. “Graph cohomology and Kontsevich cycles”. In: Topology 43.6 (2004), pp. 1469–1510. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2004.03.004.

[Kon93]

Maxim Kontsevich. “Formal (non)commutative symplectic geometry”. In: The Gel\('\) fand Mathematical Seminars, 1990–1992. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1993, pp. 173–187.

[Kon94]

Maxim Kontsevich. “Feynman diagrams and low-dimensional topology”. In: First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992). Vol. 120. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 1994, pp. 97–121.

[Mon04]

Gabriele Mondello. “Combinatorial classes on \(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}\) are tautological”. In: Int. Math. Res. Not. 44 (2004), pp. 2329–2390. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792804131462.

[Wil15]

Thomas Willwacher. “M. Kontsevich’s graph complex and the Grothendieck–Teichmüller Lie algebra”. In: Invent. Math. 200.3 (2015), pp. 671–760. arXiv: 1009.1654. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-014-0528-x.