Cyclic Operad

Operad や multicategory は, 簡単に言えば, morphism の入力を複数に拡張した small category の一般化であるが, 更に入力の一つと出力を入れ替えることができるものとして, cyclic operad という構造がある。

Getzler と Kapranov により [GK95] で導入された。 その目的は, cyclic homology をより一般的な代数的構造, すなわち operad 上の algebra に拡張することだった。

• cyclic operad 上の algebra の cyclic homology

Markl と Shnider と Stasheff の本 [MSS02] にも解説がある。

典型的な例は, 種数を固定した stable curve の moduli space の成す operad である。 他に, Getzler と Kapranov の論文で挙げられている例は, 次のものである。

• endomorphism operad
• associative operad
• \(A_{\infty }\)-operad
• framed disks operad, より一般に穴の空いた Riemann 面の moduli space
• Batalin-Vilkovisky operad

Cyclic operad \(\cP \) 上の algebra は, 一般に cyclic \(\cP \)-algebra と呼ばれるようである。 例えば, Müller と Woike の [MW] では, symmetric monoidal bicategory での associative operad と framed disk operad 上の cyclic algebra の特徴付けが得られえちる。

Getzler と Kapranov は, anticyclic operad という, 符号をいじったものも導入している。

• anticyclic operad

一般化としては, まず non-\(\Sigma \) operad に対するものがある。 Dupont と Vallette [DV17] による, 巡回群を2面体群に拡張した dihedral operad というものもある。

• cyclic non-\(\Sigma \) operad
• dihedral operad

他の一般化としては, Getzler と Kapranov [GK98] による modular operad がある。

• modular operad

References

[DV17]

Clément Dupont and Bruno Vallette. “Brown’s moduli spaces of curves and the gravity operad”. In: Geom. Topol. 21.5 (2017), pp. 2811–2850. arXiv: 1509.08840. url: https://doi.org/10.2140/gt.2017.21.2811.

[GK95]

E. Getzler and M. M. Kapranov. “Cyclic operads and cyclic homology”. In: Geometry, topology, & physics. Conf. Proc. Lecture Notes Geom. Topology, IV. Int. Press, Cambridge, MA, 1995, pp. 167–201.

[GK98]

E. Getzler and M. M. Kapranov. “Modular operads”. In: Compositio Math. 110.1 (1998), pp. 65–126. arXiv: dg - ga / 9408003. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1000245600345.

[MSS02]

Martin Markl, Steve Shnider, and Jim Stasheff. Operads in algebra, topology and physics. Vol. 96. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002, pp. x+349. isbn: 0-8218-2134-2. url: https://doi.org/10.1090/surv/096.

[MW]

Lukas Müller and Lukas Woike. Cyclic framed little disks algebras, Grothendieck-Verdier duality and handlebody group representations. arXiv: 2010.10229.