A∞-Structures

Stasheff [Sta63] により発見された \(A_{\infty }\) 構造は, その適用範囲をどんどん広げている。

• associahedron
• \(A_{\infty }\)-operad

ホモトピー論にとって, そして Stasheff の motivation から考えても, まず基本は \(A_{\infty }\)-space, つまり Hopf空間 のホモトピー結合性の研究である。

• Hopf 空間

現在では, \(A_{\infty }\)-space より \(A_{\infty }\)-algebra の方が有名ではないだろうか。

• \(A_{\infty }\)-algebra

\(k\) 上の algebra を, \(k\)-module の圏で enrich された, object \(1\)つの圏とみなすと, \(k\)-linear category は \(k\)-algebra の “many objectification” とか “horizontal categorification”, あるいは “ring with several objects” とみなすことができる。同様に, \(A_{\infty }\)-algebra の horizontal categorification として \(A_{\infty }\)-category の概念が得られる。

• \(A_{\infty }\)-category

その他 \(A_{\infty }\)-algebra の一般化や変種については, 次にまとめた。

• \(A_{\infty }\)-algebra の一般化や変種

References

[Sta63]

James Dillon Stasheff. “Homotopy associativity of \(H\)-spaces. I, II”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 (1963), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1963-0158400-5.