A∞-algebra の一般化や変種

\(A_{\infty }\)-algebra は, いわゆる homotopy algebra, つまり operad を用いて古典的な代数的構造を up to homotopy にしたもの, の中で最も一般的なものだろう。 よってその一般化としては, まず homotopy algebra がある。

• ホモトピー的構造を持った代数

\(\Z \) 以外の群による grading を持つ \(A_{\infty }\)-algebra も考えられている。Lipshitz と Ozsváth と Thurston の [LOT15] である。

Amorim [Amo16] によると, filtered \(A_{\infty }\)-algebra は Fukaya と Oh と Ohta と Ono [Fuk+09a; Fuk+09b] で導入されたものである。関連した構造として curved \(A_{\infty }\)-algebra がある。 Lipshitz と Ozsváth と Thurston [LOT] は, bordered Floer homology のための構造として, curved \(A_{\infty }\)-algebra の一種である weighed \(A_{\infty }\)-algebra とその tensor product を導入している。

• filtered \(A_{\infty }\)-algebra
• curved \(A_{\infty }\)-algebra
• weighted \(A_{\infty }\)-algebra

Sagave は [Sag10] で derived \(A_{\infty }\)-algebra という一般化を導入した。 Hochschild homology の定義で, ground ring が projective ではないときには適当な resolution を取って Shukla homology として定義しなければならないように, \(A_{\infty }\)-algebra の定義も, 一般の可換環を ground ring として用いるときは, 定義を修正しなければならない。 その目的は Kadeishvili の定理の拡張のようである。

• derived \(A_{\infty }\)-algebra

Livernet と Roitzheim と Whitehouse [LRW13] が operad を用いて記述することに成功している。 表現については, Aponte Roman, Livernet, Robertson, Whitehouse, Ziegenhagen [Apo+15] により調べられている。 そのホモトピー論は, Cirici, Stantander, Livernet, Whitehouse [Cir+18] によって研究が始まった。

Coalgebra や bialgebra の \(A_{\infty }\)版 もある。 Markl の [Mar15] は, \(A_{\infty }\)-bialgebra についての “History and Pitfalls” から始まっているので, まずはそれを読むのが良いと思う。 Umble による解説 [Umb11] もある。\(A_{\infty }\)-coalgebra の定義は, Banerjee と Naolekar の [BN] の Appendix にもある。

• \(A_{\infty }\)-coalgebra
• \(A_{\infty }\)-bialgebra

\(A_{\infty }\)-bialgebra を定義するための associahedron を拡張する 多面体の族として biassociahedron というものがあるが, その構成は, Saneblidze と Umble の [SU22] で最近完成されたばかりのようである。

Banerjee と Naokelar [BN] は, \(A_{\infty }\)-monad と \(A_{\infty }\)-comonad の概念を導入し, それを用いて \(A_{\infty }\)-algebra や \(A_{\infty }\)-coalgebra やその上の module や comodule を統一的に扱うことを提案している。 それを用いると, contramodule の \(A_{\infty }\)版も定義できるようである。

• \(A_{\infty }\)-comodule
• \(A_{\infty }\)-contramodue

\(A_{\infty }\)-algebra を最初のレイヤーとする, より複雑な構造をもった “algebra” として, Tradler と Zeinalian [TZ07] は \(V_k\)-algebra という概念を導入した。\(V_1\)-algebra が \(A_{\infty }\)-algebra である。

Chain complex の \(d^2=0\) という条件を \(d^N=0\) という条件に変えた \(N\)-complex に対しても, \(A_{\infty }\)-algebra の類似を定義することができる。Angel と Diaz の [AD] である。

他には, Braun [Bra14] が考えている involution を持った \(A_{\infty }\)-algebra などがある。

• involutive \(A_{\infty }\)-algebra

Braun は cyclic homology の類似を考え, cyclic \(A_{\infty }\)-algebra という構造も導入している。

Modular operad の作用を考えた quantum \(A_{\infty }\)-algebra というのもある。 Barannikov が導入したもの [Bar07; Bar10] のようである。

• quantum \(A_{\infty }\)-algebra

別の方向への \(A_{\infty }\)-algebra の一般化としては, \(A_{\infty }\)- ring spectrum がある。 現代的な spectrum の symmetric monoidal category では, \(A_{\infty }\)-operad を使わなくても “associative ring spectrum” を定義することもできるので, 最近はほとんど見かけることはないように思う。

• \(A_{\infty }\)-ring spectrum

ただ, そのような symmetric monoidal category を使わずに 素朴に ring spectrum の構造を考えるときには, \(A_{\infty }\)-ring spectrum も使える。例えば, Robinson の [Rob87] での universal coefficient spectral sequence の構成など。

References

[AD]

Mauricio Angel and Rafael Díaz. \(A^{N}_{\infty }\)-algebras. arXiv: math/0612661.

[Amo16]

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[Apo+15]

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[Bar07]

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[Bar10]

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[BN]

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[Fuk+09b]

Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta, and Kaoru Ono. Lagrangian intersection Floer theory: anomaly and obstruction. Part II. Vol. 46. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 2009, i–xii and 397–805. isbn: 978-0-8218-4837-1.

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[Sag10]

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[TZ07]

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