(凸) 多面体

多面体の中で三角形の高次元版である単体は, Poincaré がホモロジーの定義を行なうために導入した simplicial complex の基礎となるものであるが, 他の多面体もトポロジーと関係がある。 また, 組み合せ論の重要な研究対象である。 頂点, 辺, 面などといったデータを「組み合せ」て得られるからである。

数学以外, 例えば, 物理学や化学と多面体との関わりについては, Atiyah と Sutcliffe が [AS03] という解説を書いている。 最近のものでは, Kapranov, Kontsevich, Soibelman の [KKS16] が興味深い。Gaiotto, Moore, Witten の巨大な論文 [GMW] で平面グラフ (web) を用いて定義された代数的構造 (\(A_{\infty }\)-algebra) を secondary polytope を用いて一般化 (高次元化) している。彼等のアプローチにより, 自然に extended TQFT で出てくると言っている。

多面体の中でも重要なのが凸多面体 (convex polytope もしくは polytope) である。その中で, 普通の人が多面体と言う言葉を聴いて思い浮べるのは, 正多面体 (regular polytope) だろうが。

Schulte と Weiss の [SW06] に多面体に関連した問題が集められている。

• 多角形
• 凸多面体の基礎
• 様々な凸多面体
• 凸多面体の組み合せ論
• 多面体に対する操作
• 多面体に関連したトポロジーの問題
• 多面体と代数学

凸多面体と affine map のなす圏の構造を調べることも行なわれている。

• category of convex polytopes

より古くは, 凸多面体全体から圏ではなく群や環を作ることが考えられてきた。 一つは, scissors congruence group であり, 関連したものとして McMullen [McM89] による polytope algebra がある。

• scissors congruence group
• polytope algebra

McMullen の polytope algebra では, 加法 (減法) は, 切り貼りの関係で与えられるが, 積は Minkowski 和 である。

一方, Minkowski 和を加法として可換 monoidを作り, その Grothendieck group として Abel群を定義することもできる。その元を virtual polytope という。

• virtual polytope

Virtual polytope 以外にも凸多面体の概念は様々な形に一般化されている。

• 凸多面体の概念の一般化

References

[AS03]

Michael Atiyah and Paul Sutcliffe. “Polyhedra in physics, chemistry and geometry”. In: Milan J. Math. 71 (2003), pp. 33–58. arXiv: math-ph/0303071. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00032-003-0014-1.

[GMW]

Davide Gaiotto, Gregory W. Moore, and Edward Witten. Algebra of the Infrared: String Field Theoretic Structures in Massive \(\cN =(2,2)\) Field Theory In Two Dimensions. arXiv: 1506.04087.

[KKS16]

M. Kapranov, M. Kontsevich, and Y. Soibelman. “Algebra of the infrared and secondary polytopes”. In: Adv. Math. 300 (2016), pp. 616–671. arXiv: 1408.2673. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.03.028.

[McM89]

Peter McMullen. “The polytope algebra”. In: Adv. Math. 78.1 (1989), pp. 76–130. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(89)90029-7.

[SW06]

Egon Schulte and Asia Ivić Weiss. “Problems on polytopes, their groups, and realizations”. In: Period. Math. Hungar. 53.1-2 (2006), pp. 231–255. arXiv: math/0608397. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10998-006-0035-y.