多角形

多角形は, 2次元の 多面体であるが, 多面体の研究の中心が 凸多面体なのに対し, 多角形は凸でないものも結構調べられているようである。

多角形については, 日本語では, 桝田と福川の本 [枡福13] をまず読んでみるのがいいかもしれない。 あまり予備知識を必要とせず Pick の公式などの面白い現象が解説されている。 格子多角形中心であるが。

• lattice polygon

格子多角形は, 頂点の座標が整数であるものであるが, 辺の長さが整数であるものは, integer polytope と呼ばれるようである。

• integer polygon

East と Niles [EN19] によると Honsberger [Hon85] により, 与えられた自然数 \(n\) に対する辺の長さの合計が \(n\) である integer polygon の合同類の数が得られている。East と Niles はその一般化を得ている。

可積分系に関係した話題としては, pentagram map という凸多角形から新しい凸多角形を作る操作がある。 多角形の moduli 空間 (configuration space) の上の自己写像と考えることもできる。

• pentagram map

Ovsienko と Schwartz と Tabachnikov [OST10] によると, pentagram map は R. Schwartz [Sch92] により導入されたものらしい。

Dimer model から作られるものとして, characteristic polygon と呼ばれるものがある。Holmes の [Hol22] を見るとよい。

• dimer model の characteristic polygon

Adin と Roichman の [AFR10] では, 少なくとも一つの辺が境界にある凸多角形の三角形分割を triangle-free triangulation と呼び, graphic hyperplane arrangement との関係が調べられている。

• triangle-free triangulation

多角形の分割としては, 三角形への分割であるが 単体的複体ではないものが dissection と呼ばれ調べられている, ことを Abrams と Pommershiem の [APb] で知った。 内部が交わらない三角形の和集合への分割のことである。

• dissection

その研究は Monsky の [Mon70] から発展したようである。Monsky は, 正方形 \([0,1]\times [0,1]\) の同じ面積の三角形への dissection に関する Richman と Thomas の問題 [RT67] を解決した。 Monsky は, \([0,1]\times [0,1]\) の三角形への dissection が与えられたとき, 三角形達の面積は, ある代数方程式をみたすことを証明している。 その系として, 奇数個の同じ面積の3角形には分割できないこと, つまり Richman と Thomas の問題への否定的解決を得た。

• Monsky’s equidissection theorem

高次元への dissection の一般化も容易であり, 実際 Mead [Mea79] により Monsky の定理の高次元版が証明されている。

一般の多角形についても Abrams と Pmmersheim の [AP14; APa; APb] などを始めとして, 色々調べられているようである。

References

[AFR10]

Ron M. Adin, Marcelo Firer, and Yuval Roichman. “Triangle-free triangulations”. In: Adv. in Appl. Math. 45.1 (2010), pp. 77–95. arXiv: 1009.2628. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2009.11.001.

[APa]

Aaron Abrams and Jamie Pommersheim. Generalized Dissections and Monsky’s Theorem. arXiv: 2006.04286.

[APb]

Aaron Abrams and Jamie Pommersheim. Integrality relations for polygonal dissections. arXiv: 2301.03475.

[AP14]

Aaron Abrams and James Pommersheim. “Spaces of polygonal triangulations and Monsky polynomials”. In: Discrete Comput. Geom. 51.1 (2014), pp. 132–160. url: https://doi.org/10.1007/s00454-013-9553-6.

[EN19]

James East and Ron Niles. “Integer polygons of given perimeter”. In: Bull. Aust. Math. Soc. 100.1 (2019), pp. 131–147. arXiv: 1710.11245. url: https://doi.org/10.1017/s0004972718001612.

[Hol22]

D. Holmes. “Affine dimers from characteristic polygons”. In: PUMP J. Undergrad. Res. 5 (2022), pp. 24–51. arXiv: 2110.01703.

[Hon85]

Ross Honsberger. Mathematical gems. III. Vol. 9. The Dolciani Mathematical Expositions. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1985, pp. v+250. isbn: 0-88385-313-2.

[Mea79]

D. G. Mead. “Dissection of the hypercube into simplexes”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 76.2 (1979), pp. 302–304. url: https://doi.org/10.2307/2043008.

[Mon70]

Paul Monsky. “On dividing a square into triangles”. In: Amer. Math. Monthly 77 (1970), pp. 161–164. url: https://doi.org/10.2307/2317329.

[OST10]

Valentin Ovsienko, Richard Schwartz, and Serge Tabachnikov. “The pentagram map: A discrete integrable system”. In: Comm. Math. Phys. 299.2 (2010), pp. 409–446. arXiv: 0810.5605. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-010-1075-y.

[RT67]

Fred Richman and John Thomas. “Problem 5479”. In: Amer. Math. Monthly 74 (1967), p. 329.

[Sch92]

Richard Schwartz. “The pentagram map”. In: Experiment. Math. 1.1 (1992), pp. 71–81. url: http://projecteuclid.org/euclid.em/1048709118.

[枡福13]

枡田幹也 and 福川由貴子. 格子からみえる数学. 日本評論社, 2013. isbn: 9784535785830.